On a une fonction f(x), on va construire une autre fontion nommée la dérivée de f(x) et elle sera notée f'(x) , c'est quelque chose qui dépende de f(x) c'est pourquoi on note f'(x)
Mais avant cette construction on va voir la notion de nombre de dérivé, la dérivée de f(x) en un point x0 .
La dérivée en un point (nombre de dérivé)
On dit que f(x) est dérivable en x0 si la limite ci-dessous existe et fine , et on la note f'(x0)REMARQUE
1. f(x0) doit être défini (existe)
2. Il y a une autre façon d'écrire cette limite
Il suffit de poser x = x0 + h car parfois, dans les calculs c'est plus facile de faire h tendre vers 0 (h->0) , que de faire x tendre vers x0 (x->x0)
Exemple: f(x) = x², et x0=3 , f(3)=9 on a
Allons y
f(3+h) = (3+h)² = 9 + 6h + h²
f(3+h)-f(3) = 9 + 6h + h² - 9
[f(3+h)-f(3)] / h = 6 + h
quand h tend vers 0 , f'(3) vaut 6, f'(3)=6
Si on utilise l'expression
on a
La dérivé f'(x) de f(x)
Une fois savoir ce que c'est la dérivée de f(x) en un point x0 , la construction de f'(x) est facile, en effet il suffit de dire que x0 est quelconque càd x.Définition
Il faut noter que ici c'est 'h' qui est important pas 'x', c'est 'h' qui tend , qui bouge, h est la variable .
voyons pour f(x)=x²
f(x+h) = (x+h)² = x² + 2xh + h²
f(x+h)-f(x) = x² + 2xh + h² - x²
[f(x+h)-f(x)] / h = 2x + h
quand h tend vers 0 , f'(x) vaut 2x, f'(x)=2x
Rappelle que c'est 'h' qui est important, c'est 'h' qui est la 'variable' .
NOTE : la dérivée sert à calculer (un peu près) f(b) mais on ne connait pas b !! par contre on connait un a tout près de b c'est à dire b = a +h (h très petit).
f(a+h) ≈ f(a) + f'(a).h
f(2,08) = f(2+0,08)
f(2,08) ≈ f(2) + 0,08.f'(2)