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Les bases de la géométrie

Certain auteur appelle ça la géométrie "élémentaire", mais je pense que le terne "pure" est plus adopté, en effet dans ce genre de géométrie, on n'utilise pas de calculs, mais simplement des raisonnements pures et logiques en appuyant sur des théorèmes, des propriétés ... déjà démontrés. donc c'est quelque chose de difficile pas élémentaire du tout comme on pourrait y croire.

On dispose un ensemble P nommé plan, dont les éléments A, B, C .... sont appelés points, et il y a bien sur au moins 3 points sinon on ne va pas bien loin.
Les axiomes

1. Avec 2 points distints A, B on peut former un ensemble non vide noté [AB] et appelé segment, c'est l'ensemble des points entre A,B
2. A partir du segment [AB] on peut former les demi-droite [AB) et (AB]
3. Deux points distints A, B déterminent une seule droite noté (AB)
4. On peut prolonger le segment [AB] en une droite (AB)
5. Par un point A extérieur de d, il passe une et une seule droite d' parallèle à d
6. Le segment [AB] possède une longeur noté AB, c'est un nombre positif ou nul, on dit aussi la distance AB, de A à B

Droites et segments

1. Deux droites soit parallèles, soit sécantes, soit confondues


2. d//d , d parallèle à d
3. d//d' ⇒ d'//d
4. d//d' et d'//d" ⇒ d//d"


5. d⊥d' , d perpendiculaire à d' ⇒ d'⊥d ATTENTION on n'a pas d⊥d !!!
6. d⊥Δ et d'⊥Δ ⇒ d//d'


7. Le milieu du segment [AB] est le point I qui partage [AB] en deux parties égales: AI=IB

I milieu de [AB]

Rappel:


de même


NOTE: est prèsque AC.AB , il suffit de faire attention au sens des vecteurs , donc c'est une simple notation, abréviation c'est tout.

Théorème de Thalès

Thalès

Soient d et d' , deux droites et les points A,B,C sur d et A',B',C' sur d'

si (AA') // (BB') // (CC') alors


Réciproquement:

si (AA') // (BB') et

alors (AA') // (BB') // (CC')

Commentaire
I. On peut reformuler le théorème de Thalès sous la forme vectorielle: (AA') // (BB') // (CC')
sialors


celà signifie que les projections conservent non pas la distance (comme les rotations ou les translations) mais la proportionnalité k

II. On utilise la mesure algébrique et non la distance AC/AB parce que la réciproque a besoin la mesure algébrique.

III. Le théorème de Thalès sert à démontrer les droites parallèles quand on connait les distances et inversement

Cas particulier : d et d' se coupent en K et A,B sur d et A',B' sur d'
Si on ne veut pas utiliser la mesure algébrique mais seulement la distance, il faut examiner la position de K par rapport aux [AB] et [A'B']

K extérieur [AB] et [A'B']

	K intérieur [AB] et [A'B']

si (AA') // (BB') alors
KA/KB = KA'/KB'

Réciproque
si KA/KB = KA'/KB' et
K extérieur [AB] et extérieur [A'B'] ou
K intérieur [AB] et intérieur [A'B']
alors (AA') // (BB')

Attention!! on peut avoir:

K intérieur [AB] mais K extérieur [A'B']

Ici on a KA/KB = KA'/KB' mais on n'a pas (AA') // (BB') puisque
K intérieur [AB] et K extérieur [A'B']

Théorème de Thalès appliqué aux triangles

Soit un triangle ABC et M∈[AB], N∈[AC] et (MN) // (BC) alors on a:
AB/AM = AC/AN = BC/MN
et réciproquement
si AB/AM = AC/AN ==> (MN) // (BC)

Théorème du milieu
Soit ABC un triangle
1. si M est le milieu de [AB] alors la parallèle à (BC) en M, coupe [AC] en milieu
2. si M est le milieu de [AB] et N est le milieu de [AC] alors (MN) // (BC)

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DMJ: 19/07/2018