L' espace affine

Dans un plan ℘ on a des points, A, B, C .... mais il n'y a pas d' opérations sur les points, or on aimerait bien faire des calculs dans ℘ ...

Soient E un espace vectoriel et ℘ un ensemble tel que , à partir de deux points A,B , on puisse fabriquer un seul vecteur unique
vecteur unique
et la règle de fabrication doit vérifier 3 axiomes suivants:
où A,B,C ∈℘, u∈E

relation de Chasles


REMARQUE IMPORTANT: il est possible de fabriquer à partir de plusieurs couples de points (A,B) , (C,D) ...mais c'est le même vecteur qu'on trouve

on dira que ces couples (A,B) et (C,D) sont équipollents
La relation de Chasles est donc un axiome on ne la démontre pas !!!

Exemples

Le plus simple est notre plan traditionnel P muni un repère, voici la règle de fabrication des vecteurs: A=(xA,yA) , B=(xB,yB)

Ainsi on pourrait faire des calculs dans P (P muni un repère)

Quelles propriétés, et les règles de calculs


En effet si on fixe A alors d'après A3: pour chaque u, il existe un unique B tel que

Pour u = 0

et d'autre part on a:

donc A=B
Il y a un unique chemin c pour aller de A à A, donc si on part de A et on prend le chemin c, on arrive forcement à A !!!


en effet
or
d'où

ça signifie que est l'opposé de


en effet





en effet
je coupe AB en AC, puisque je veux AC
je coupe CD en BD, puisque je veux BD, d'où


ABCD parallélogramme
où k∈R* ; les points A,B,C sont alignés

[1] 2

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DMJ: 19/07/2018











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