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Les fonctions

Soient E et F deux ensembles, une fonction f définie sur E dans F, ça signifie qu'à chaque x de E on associe un élélemnt f(x) de F.
f : E -> F
x -> f(x)
exemples:
f : R -> R
x -> f(x)=3x+1

f : R -> R
x -> f(x)=x²

f : R -> R
x -> f(x)=1/x

f : R -> R

L'ensemble de définition

Une notion très importante sur les fonctions c'est son l'ensemble de définition D_f.
L'ensemble de définition c'est les x tels que f "marche" , càd les x tels que f ait un sens.
exemple:

f : R -> R
x -> f(x)=1/x
Pour x=0, f ne marche pas !! f n'a pas de sens , donc l'ensemble de défition de f c'est tous les nombres sauf zéro 0, càd D_f = R-{0} = R*


La racine n'a de sens que si sous la racine est positif ou nul.
x+1 ≥ 0 ⇒ x ≥ -1 donc
D_f = [-1, ∞[

f : R -> R

Dans ce cas il faut que le dénominateur soit différente de zéro 0
x²-1 = 0
(x-1)(x+1) = 0
x = 1 ou x = -1
donc tout marche sauf -1 et -=1 , l'ensemble de définition de f est donc
-∞________________-1_____1_______________+∞

D_f = ]-∞,-1[ U ]-1, 1[ U ]1, ∞[

Fonction paire, impaire, périodique

-Fonction paire : f(-x) = f(x) ; Oy=axe de symétie
exp: f(x) = x² , f(x) = cos(x) ; fonctions paires
d: x = a , axe de symétrie
f(a - x) = f(a + x)
ou bien
f(2a - x) = f(x)

-Fonction impaire: f(-x) = -f(x) : Origine est le centre de symétrie
exp: f(x) = x³, f(x)=sin(x) fonctions impaires
A(a,b) centre de symétrie
f(a - x) + f(a + x) = 2b
ou bien
f(2a - x) = 2b - f(x)

-Foction périodique : f(x+T) = f(x) ; T=la période
exp: f(x) = cos(x) période T=2π ; fonctions périodique

Injective, surjective, bijective

Injective: On dit que f(x) est injective si: f(x) = f(x') ⇒ x = x'
Surjective: On dit que f(x) est surjective si: ∀y ∈F on trouve un x dans E tel que f(x) = y
Bijective: On dit que f(x) est bijective si elle est injective et surjective (ou encore que l'équation y=f(x) a une seule solution en x pour tout y)

exemples
f : R -> R
x -> f(x)=3x+1
Injective ?
f(x) = f(x') ⇒ 3x+1=3x'+1 ⇒ x=x' donc f(x) est injective

f : R -> R
x -> f(x)=x²
Injective ?
f(x) = f(x') ⇒ x²=x'² ⇒ x²-x'²=0 ⇒ (x-x')(x+x')=0
x=x' ou x=-x' donc f n'est pas injective
Surjective ?
-1 = f(x) ⇒ -1 = x² pas de solution (dans R) ! donc f(x) n'est pas surjective.

Fonction croissante, décroissante

Déf : Une fonction croissante sur l'intervalle I si
a,b ∈ I tels que a ≤ b ⇒ f(a) ≤ f(b)
Exp: f(x) = x²+4 est croissante sur l'intervalle I = [0,+∞[
en effet
on a: a ≤ b avec a≥0 et b≥0 (on prend a,b dans I)
on va bricoller pour avoir f(a) ≤ f(b) , allons y

a ≤ b
a² ≤ b² car a,b sont positifs
a²+4 ≤ b²+4
f(a) ≤ f(b)

NOTE IMPORTANTE : parfois pour montrer que f(a) ≤ f(b) on utilise f(a)-f(b) ≤ 0
Exp:

cherchons si f(x) est croissante sur I=]1,+∞[ ?
calculons f(a) - f(b)

(b-1)(3a-11) - (a-1)(3b-11)
3ab-11b-3a+11 -3ab+11a+3b-11
-8b+8a
8(a-b) ≤ 0 car 1 < a ≤ b
donc
f(a) - f(b) ≤ 0
f(a) ≤ f(b) donc f(x) croissante sur I

Déf : Une fonction décroissante sur l'intervalle I si
a,b ∈ I tels que a ≤ b ⇒ f(a) ≥ f(b)
Exp: f(x) = x² est décroissante croissante sur l'intervalle I = ]-∞,0]

Déf : Une fonction strictement croissante sur l'intervalle I si
a,b ∈ I tels que a < b ⇒ f(a) < f(b)
Exp: f(x) = x³ est strictement croissante sur R=]-∞,+∞[

Déf : Une fonction strictement décroissante sur l'intervalle I si
a,b ∈ I tels que a < b ⇒ f(a) > f(b)
On dit qu'une fonction est monotone si elle est soit croitssante soit décroissante

Propriétés:

1. f, g croissantes ⇒ f+g croissante
2. f, g croissantes ⇒ f o g croissante ( composée fog(x)=f[g(x)] )
3. f, g positives-croissantes ⇒ fg croissante
4. f' ≥ 0 ⇔ f croissante
5. f' > 0 ⇒ f strictement croissante

Fonction réciproque

Lorsque f(x) est bijective , il existe une fonction nommée réciproque et
notée f^-1(x) telle que
f o f^-1 = f^-1 o f = id (id=identité=fonction identique id(x)=x)
NOTE: f o g(x) = f[g(x)] , la composition de 2 fonctions

f(x)=3x+1
f est bijective , cherchons f^-1
y = 3x+1 , y donné et on cherche x
x = (y-1)/3 donc f^-1(y) = (y-1)/3 ou en changeant de notation f^-1(x) = (x-1)/3

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DMJ: 19/07/2018