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CAVERNE D'ALIBABA

LIENS

On a une fonction f(x) et on cherche une fonction F(x), telle que F'(x)=f(x) la fonction F(x) est nommée primitive de f(x)

Une primitive de f(x)

Déf : On dit que F(x) est une primitive de f(x) si F'(x)=f(x) et on la note

REMARQUE
1. Il y a plusieurs primitives pour un f(x) donné, par exp: H(x)=x² et G(x)=x²+5 sont des primitives de f(x)=2x, l'écriture "générique" d'une primitive de f(x)=2x est F(x)=x²+C avec C une constante (comme l'écriture générique d'un nombre pair n=2k ) donc si on veut préciser quelle primitive il faut donner la valeur de F(x) en un point, par exp F(x)=x²+5 c'est la primitive de f(x)=2x qui vaut 5 en x=0, F(0)=5 (comme le nombre pair n=8 c'est pour k=4)

2. La notation

est très étrange, mais elle a beaucoup d'avantage (on verra plus tard)
a. On voit qu'elle est reliée à f(x), alors que la notation F(x) on ne voit pas le lien avec f(x)
b. Le 'dx' signifie que 'x' est la variable, 'x' est important, par exp si f(x)=2x+3h

alors que

On cherche la primitive par rapport à 'dx' .

Les primitives connues

Voici les primitives connues à apprendre par coeur !! , où a est constant

f(x) = a => F(x) = ax+C où C=constante
f(x) = x^a => F(x) = x^a+1/a+1 + C
f(x) = cos x => F(x) = sin x+C
f(x) = sin x => F(x)= -cos x + C
f(x) = 1+tg² x => F(x) = tg x + C
f(x) = 1/x (x>0) => F(x) = ln x + C
f(x) = e^x => F(x) = e^x + C

Les règles de calculs sur les primitives

Lire la primitive de...

Primitive de (f+g) c'est la primitive de f + primitive de g

Les théorèmes

Théorème : Si f(x) est continue sur l'intervalle I, alors f(x) admet une primitive sur I
Théorème : Si F(x) est une primitive sur I, alors F(x)+C est aussi une primitive sur I (C=constante)
Théorème : Il y a une seule primitive F(x) sur I tel que F(u)=v où u,v donnés

On a la formule suivante

G est une primitive de g,
Dans la pratique on pose
f ==> f'
g ==> G
la formule est assez compliquée car il faut connaitre une des primitives G du produit fg, et puis il faut quand même savoir caluler une primitive de f'G. Mais elle permet parfois de calculer les primitives.

exp: trouver une primitive de f(x)=ln(x)

on va prendre : f(x)=ln(x) et g(x)=1 d'où f'(x)=1/x , G(x)=x

F(x)=x.ln(x) - x + C