Les series
Une serie c'est simplement la somme d'une suite. A la suite un on associe la serie notée ∑un définie par:
Sn = u1 + u2 + ... + un
Sn est la somme partielle de la série ∑un et un est le terme général de la série ∑un
on dira que la série ∑un est convergente si la suite Sn a une limite fine. sinon elle est divergente (pas de limite ou limite infinie).
exemple de séries
Pour la série ∑1/n on va utiliser le critère de Cauchy:
|Sp - Sq| -> 0 dèsque p,q dépassent d'un certain rang k : p,q > k
On prend p=2n et q=n d'où
|Sp - Sq| ne tend pas vers 0 donc la série ∑1/n diverge.
Condition nécessaire
Prop1 : Si la série ∑un est convergente alors on a nécessairement un tend vers zéro ( un-> 0 )
Mais ce n'est pas une condition suffissante car par exp la série ∑1/n est divergente et pour tant un=1/n tend vers 0
exp
la série ∑sin(n) n'est pas convergente car sin(n) n'a pas de limite, en effet
Supposons que sin(n) -> l alors
la formule
sin(p)-sin(q) = 2 sin[(p-q)/2] cos[(p+q)/2]
donne
sin(n+1)-sin(n-1) = 2 sin(1) cos(n)
En passant à la limite on a: cos(n) - > 0 or
cos(2n) = 2cos²n - 1 ce qui donne 0=-1 (en passant à la limite bien sûr) , ce qui est absurde !!! donc sin(n) n'a pas de limite, la série ∑sin(n) n'est pas convergente .
NOTE
Le début de la série, la somme Sk, influence sur la limite S de la série, mais pas sa nature convergente ou divergente.
Série à termes positifs
Une série ∑un à termes positifs si à partir d'un certain rang k < n les un sont tous positifs
Savoir une série ∑un est convergente ou non c'est une chose difficile et c'est encore plus difficile de calculer sa somme S, donc si vous n'arrivez pas c'est normal !!
On va donner les règles de convergente bien connues, il faut donc les bien connaitre c'est la seule façon de s'en sortir. !!
Prop1 : un ≤ vn , si la série ∑vn converge alors la série ∑un converge aussi
Prop2 : un ~ vn (~ = équivalente), si la série ∑vn converge alors la série ∑un converge aussi
Prop3 : si a > 1 , la série ∑1/na converge (la série de Riemann)
Prop4 : naun -> l (fini) et si a > 1 , alors la série ∑un converge
Règle d'Alembert : un+1/un < a et si a < 1 , alors la série ∑un converge
Règle de Cauchy : n√un -> l et si l < 1 , alors la série ∑un converge
Prop7 : si la série ∑|un| converge , alors la série ∑un converge aussi
Prop8 : f(x) continue, positive, décroissante pour 1 ≤ x alors
la série ∑f(n) converge si l'intégrale