Nombre divisable
On a neuf chiffres: {1,2,3,4,5,6,7,8,9} , un nombre divisable c'est un nombre n formé avec ces neuf chiffres n = abcdefghi tel que:
abcdefghi divisible par 9
abcdefgh divisible par 8
abcdefg divisible par 7
... etc ...
.
.
ab divisible par 2
a divisible par 1
On va montrer qu'il y a un seul nombre divisable, la démontration est assez longue mais rien de difficile.
NOTATION: a\b = "a divisible par b"
I) Réduction en 4 nombres
On va réduire le champ de recherche en seulement 4 nombres, pour ça on appuie sur quelques simples remarques.
A. Les chiffres b,d,f,h sont pairs puisque les nombres ab, abcd, abcdef, abcdefgh sont divisibles par 2. Et on a forcément e = 5 puisque abcde\5 (\5 = divisible par 5)
B. abcd divisible par 4
abcd\4 ⇒ cd\4 d'où
10c + d = 4k comme c est impair c = 2m + 1 ça donne
d = 4k - 20m - 10
d = 2(2k - 10m - 5) ⇒ (2k - 10m - 5) = 1 ou 2 ou 3 ou 4 ⇒ solution 1,3
donc d = {2,6}
C. abcdefgh divisible par 8
Même raisonnement
abcdefgh\8 ⇒ fgh\8
100f + 10g + h = 8k comme g est impair g = 2m + 1 ça donne
h = 8k - 100f - 20m - 10
h = 2(4k - 50f - 10m - 5) ⇒ (4k - 50f - 10m - 5) = 1 ou 2 ou 3 ou 4 ⇒ solution 1,3
donc h = {2,6}
finalement
(d,h) = {2,6}, donc (b,f) = {4,8}
on trouve ainsi 4 nombres
a4c258g6i
a4c658g2i
a8c254g6i
a8c654g2i
II) Réduction en 2 nombres
Parmi ces 4 nombres on va éliminer deux
abcdef\6 ⇒ abcdef\3 et comme abc\3 donc def\3.
donc a4c658g2i, a8c254g6i sont éliminés, il nous reste 2 nombres
a4c258g6i
a8c654g2i
III) Réduction en un nombre
On va éliminer a4c258g6i en utilisant la divisibilité par 8
a4c258g6\8 ⇒ 8g6\8 ⇒ 816, 896
a4c25816 avec (a,c) = {3,7,9}
a+4+c = {14,16,20} pas divisible par 3 donc 816 rejeté
a4c25896 avec (a,c) = {1,3,7}
a+4+c = [8,12,14} ⇒ pour 12 divisible par 3 on passe à \7 ⇒ 1472589\7 non, 7412589\7 non, donc 896 rejeté
il reste
a8c654g2i
IV) a8c654g2 divisible par 8
a8c654g2\8 ⇒ 4g2\8 ⇒ 432, 472
a8c6543 avec (a,c) = {1,7,9}
a+8+c = {16,18,24} ⇒ 18 divisible par 3 on passe en \7 ⇒ 1896543\7 non, 9816543\7 non,
24 divisible par 3 on passe en \7 ⇒ 7896543\7 non, 9876543\7 non donc 432 rejeté
a8c6547 avec (a,c) = {1,3,9}
a+8+c = {12,18,20} ⇒ 12 divisible par 3 on passe en \7 ⇒ 1836547\7 non, 3816547\7 ok ,
18 divisible par 3 on passe en \7 ⇒ 1896547\7 non, 9816547\7 non
finalement un seul nombre convient:
381654729
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DMJ: 12/06/2016