Une suite
Une suite est simplement une fonction de N dans R (ou C) on note un au lieu de f(n), l'étude d'une suite c'est savoir si un
a une limite quand n->∞
exp
et pour quelque valeur de n
et
Suite croissante, décroissante
Une suite croissante si: un+1 ≥ un
Une suite strictement croissante si: un+1 > un
Une suite décroissante si: un+1 ≤ un
Une suite strictement décroissante si: un+1 < un
NOTE
Parfois pour montrer un+1 ≥ un on a l'intérêt à montrer un+1 - un ≥ 0
càd étudier le singe (un+1 - un) = +
Si la suite un+1 est positive, on peut comparer un+1/un ≥ 1 pour savoir si elle est croissante ou non.
Suite majorée, minorée
Une suite majorée s'il existe un M tel que : un ≤ M pour tout n (ou à partir d'un certain rang k < n)
Une suite minorée s'il existe un m tel que : m ≤ un pour tout n (ou à partir d'un certain rang k < n)
Une suite bornée s'il elle est majorée et minorée càd s'il existe m et M tels que : m ≤ un ≤ M pour tout n (ou à partir d'un certain rang k < n)
Une suite convergente si
On note aussi:
un -> l (qd n -> +∞)
ou simplement
un -> l (lire un converge vers l)
mathématiquement ça signifie:
∀ ε > 0 ∃p tel que n > p ⇒ |un - l| < ε
Une suite divergente c'est une suite non-convergente (pas de limite ou limite infinie)
Sous-suite ou suite extraite
exp: u2k, u2k+1 ce sont des sous-suites de un
Suite arithmétique
Déf :
u1 terne initial et
un+1 = un + r (r=la raison)
On peut exprimer un en fonction de n
un = u1 + (n-1)r
ou
un = u0 + nr , si on commence par u0
plus généralement
un = uk + (n-k)r
Et la somme de ses n termes
Sn = u1 + u2 + u3 ... + un
ou
Sn = u0 + u1 + u2 ... + un
, si on commence par u0
Suite géométrique
Déf :
u1 terne initial et
un+1 = qun (q=la raison)
On peut exprimer un en fonction de n
un = u1qn-1
ou
un = u0qn , si on commence par u0
plus généralement
un = ukqn-k
Et la somme de ses n termes
Sn = u1 + u2 + u3 ... + un
REMARQUE
si |q| < 1 alors
ou si on commence par u0
Sn = u0 + u2 + u3 ... + un
Suite récurrente
Suite linéaire :
u1 terne initial et
un+1 = aun + b
Solution
On résout l'équation des points fixes: x = ax + b
1. Solution P = b/(1-a) On pose vn = un - P
2. On montre alors que vn est une suite géométrique de raison a, donc connaissant vn on trouve un
Modélisation :
Un journal possédait 5000 abonnés en 2000. Chaque année suivante, il perd 30% des abonnés de l'année précédente, mais gagne dans le même temps 600
nouveaux abonnés.
Solution:
On note un le nombre d'abonnés (en centaines) de l'année (2000+n) . Ainsi u0 = 50
1. Chaque année on perd 30% de un, donc il reste un - 0,30un = 0,7un
2. Mais on gagne 6 , donc un+1 = 0,7un + 6
Suite homographique :
u1 terne initial et
Solution
On résout l'équation des points fixes:
cx² + (d - a)x - b = 0
1. Δ > 0 deux sol P,Q on pose
On montre alors que vn est une suite géométrique, donc on trouve un
2. Δ = 0 une sol P on pose
On montre alors que vn est une suite arithmétique, donc connaissant vn on trouve un
Suite Fibonacci :
u1 , u2 terne initial et
un+2 = aun+1 + bun
Solution
On résoud l'équation des points fixes: x² = ax + b
1. Δ > 0 deux sol P,Q => un = kPn + hQn pour trouver k,h on donne les valeurs particulières à n (n=1, n=2)
2. Δ = 0 une sol P => un = kPn + hnPn pour trouver k,h on donne les valeurs particulières à n (n=1, n=2)
3. Δ < 0 sol complexe P=reiθ => un = 2krncos(nθ) - 2hrnsin(nθ) pour trouver k,h on donne les valeurs particulières à n (n=1, n=2)