MATHSOTOP

Opérations sur les limites

Les opérations sur les limites se font normalement => limite d'une somme = la somme des limites ...






etc ....

Théorème

Théorème : Toute suite croisante majorée est convergente
Théorème : Toute suite décroisante minorée est convergente
Théorème : Toute suite convergente est bornée
Théorème de Cauchy : Si à partir d'un certain rang k et
p,q > k on a |u_p - u_q | -> 0 , alors u_n est convergente
Théorème : si u_n converge vers l alors toute sous-suite converge aussi vers l

Théorème : si u_2k -> l et u_2k+1 -> l alors la suite u_n converge aussi vers l
Dém:
* cas n pair, n=2p
|u_n - l| = |u_n - l + u_2k - u_2k|
|u_n - l| = |u_n - u_2k + u_2k - l |
|u_n - l| ≤ |u_n - u_2k| + |u_2k - l |
Or la suite u_2k converge vers l donc, à partir d'un certain rang on a: |u_2k - l | < ε/2
Et puis la suite u_2k est aussi de Cauchy, donc à partir d'un certain rang on a aussi : |u_2p - u_2k | < ε/2
d'où à partir d'un certain rang on a: |u_n - l | < ε

On fait de même pour le cas n impair
* cas n impair, n=2q+1
|u_n - l| = |u_n - l + u_2k+1 - u_2k+1|
|u_n - l| = |u_n - u_2k+1 + u_2k+1 - l |
|u_n - l| ≤ |u_n - u_2k+1| + |u_2k+1 - l |
La suite u_2k+1 converge vers l donc, on a: |u_2k+1 - l | < ε/2
La suite u_2k+1 est aussi de Cauchy, donc on a aussi : |u_2q+1 - u_2k+1 | < ε/2
d'où à partir d'un certain rang on a: |u_n - l | < ε

Finalement à partir d'un certain rang on a : |u_n - l | < ε

Théorème des gendarmes : v_n -> l et w_n -> l et
v_n ≤ u_n ≤ w_n , alors la suite u_n converge aussi vers l

Théorème des suites adjacentes
1. u_n croissante et v_n décroissante
2. |v_n - u_n| -> 0 tend vers 0
Alors u_n et v_n convergent vers la même limite commune

Théorème de Bolzano-Weierstrass : Toute suite (réelle) bornée , on peut extraire une sous-suite convergente

Prop1 : Tout nombre réel est la limite d'une suite rationnelle
Prop2 : v_n ≤ u_n si v_n -> +∞ alors u_n -> +∞
Prop3 : u_n -> l (converge vers l), v_n -> m
si u_n ≤ v_n alors l ≤ m
Attention: u_n < v_n ≠> l < m
contre-exp: 0 < 1/n => l=0 et m=0

Prop4 : u_n -> l et 0 < l
alors à partir d'un certain rang k < n on a: 0 < u_n
Prop5 : |u_n| ≤ v_n
si v_n -> 0 alors u_n -> 0

Somme des puissances

S₁ = 1+2+3...+n = n(n+1)/2
S₂ = 1²+2²+3²...+n² = n(n+1)(2n+1)/6
S₃ = 1³+2³+3³...+n³ = n²(n+1)²/4

S_p = 1^p+2^p+3^p...+n^p
On a une formule de récurente suivante

ou encore
S₀ = n
F_p-1 = primitive de S_p-1 (sans constant)
S_p = pF_p-1 + n[1 - pF_p-1(1) ]

La constante d'Euler γ

La constante e