L' espace vectoriel

Soient K un corps commutatif et E un ensemble muni deux lois '+' interne, et '.' externe, on dit que (E,+,.) est un espace vectoriel sur K ou un K-espace si:
1. (E,+) est un groupe abélien
2. la loi externe '.' vérifie 4 propriétés suivantes:
où a,b ∈K et u,v ∈E
2a. a.(b.u) = (ab).u
2b. a.(u+v) = a.u + a.v
2c. (a+b).u = a.u + a.v
2d. 1.u = u

REMARQUE IMPORTANT: il y a beaucoup de lois, mais on les note pareil ! pour ne pas alourdir les écritures. Par exp: (a+b) le plus '+' ici c'est une loi de K et (u+v) le '+' c'est une loi de E. De même on note 0 pour les éléments neutres de (K,+) et (E,+) c'est à nous de savoir qui est qui !!!
Parfois on supprime le point '.' de a.u = au donc (au) c'est une loi de E et (ab) c'est une loi de K.

Exemples

Le plus simple est: (R,+,.) est un espace vectoriel sur lui même

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DMJ: 01/01/2018











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Théorème de Thalès