Les limites
Il faut dire que la notion de limite est une notion assez difficile à comprendre, donc si vous ne comprenez pas c'est normal !! il faut du temps et un certain temps pour adopter,
familier ce genre de concept.
La limite a en rapport avec la notion l'ensemble de définition Df, voyons voir.
On va regarder sur un exemple.
Soit la fonction: f(x) = 1/x
Cette fonction est définie sur R* = R - {0} = ]-∞ , 0[U]0 , +∞[
Df = -∞__________0__________+∞
On voit donc qu' il y a un "trou" en zéro 0, bien sûr f ne peut pas prendre la valeur zéro, f(0) n'existe pas, mais que se passe -t-il si x est proche de 0 (à droite) ? par
exp x = 0,00001 = 10-5 ??
on a f(0,00001) = f(10-5) = 105 c'est un nombre assez grand .... mais au lieu de prendre x = 10-5 on prend
x = 10-90 , x très proche de 0 et f(10-90) = 1090 on a f(x) très grand
intuitivement plus x est proche de zéro 0 (à droite), plus f(x) est grand et au final si x vaut carrément 0 (en l'approchant à droite) , f(x) vaut plus infini +∞
Pour exprimer tout celà, on dit que la limite de f est +∞ quand x tend vers 0 à droite et on écrit
 = +\infty)
ou encore
 = +\infty)
Au lieu d'approcher 0 à droite, on l'approche à gauche càd prendre x = -0,00001 = -10-5 et on aura f(-0,00001) = f(-10-5) = -105 et
finalement si x s'approche de zéro 0 (à gauche), alors f(x) devient -∞
 = -\infty)
ou encore
 = -\infty)
Les bornes
On voit que l'ensemble de définition de f, Df = ]-∞ , 0[U]0 , +∞[ possède 4 bornes, l'étude des limites c'est l'étude du comportement de f(x) quand x s'approche les bornes.
de Df dans cet exemple on peut aussi checher la limite de f(x) quand x tend vers +∞ , on voit que plus x est grand , plus f(x) est petit ...càd f(x) tend vers 0 quand x tend vers +∞
 = 0)
On peut même préciser que f(x) tend vers 0 en approchant du côté positif càd au dessus de l'axe x
De même on a
 = 0)
ici aussi on peut préciser que f(x) tend vers 0 en approchant du côté négatif càd en dessous de l'axe x
Résumons
- Où cherche t-on les limites de f(x) ? en générale on cherche aux bornes de l'ensemble de définition Df c'est les cas les plus intéressants mais on peut la chercher n'importe où
- Parfois on n'a pas besoin de préciser à droite ou à gauche si le résultat est pareil
Définition de limite
La définition rigoureuse de la limite est compliquée, mais assurez vous on utilise rarement la définition , en générale on utilise les règles de culculs sur les limites,
les théorèmes ... etc ... pour s'en sortir
On dit que la limite de f(x) est l quand x tend vers a et on écrit
 = l)
si
∀ε>0 ∃µ>0 tel que |x-a|<µ ⇒ |f(x)-l|<ε
REMARQUE
1. µ dépend de ε , si on change ε , µ change
2. ε est donné, on se donne un ε comme on veut pourvu qu'il soit strictement positif ε>0
3. une fois le ε est donné on a automatiquement un µ, parfois on ne sait pas ce qu'il vaut, mais on sait qu'il est là, qu'il existe.
4. comme on a le doit de choisir le ε on prend donc un truc très petit du genre ε = 10-90 et on voit que
|f(x)-l|<ε signifie que f(x) vaut prèsque l , f(x) ≈ l quanf x est proche de a (|x-a|<µ)
5. dans la défitition de limite, il faut connaitre l
Bref tout celà signifie, f(x) est au voisinage de l (ou autour de l) dèsque x est au voisinage de a.
Exemple: f(x) = 2x+5, on a
 = 9)
On va montrer cela à partir de la définition, la statégie c'est qu'on va raisonner à l'envers !!
|f(x)-9|<ε
|2x+5-9|<ε
|2x-4|<ε
2|x-2|<ε
|x-2|<ε/2
On voit que notre µ vaut ε/2 donc il suffit de prendre µ=ε/2 (ε est donné) et imposer
|x-2|<µ puis remonte les calculs et on trouve |f(x)-9|<ε
Donc dèsque x est proche de 2, on a f(x) est proche de 9, c'est bien la définition de limite
Voici les autres définitions des limites
 = +\infty)
ça signifie
∀ε>0 ∃µ>0 tel que |x-a|<µ ⇒ f(x) > ε
 = -\infty)
ça signifie
∀ε>0 ∃µ>0 tel que |x-a|<µ ⇒ f(x) < -ε
 = l)
ça signifie
∀ε>0 ∃µ>0 tel que x > µ ⇒ |f(x)-l|<ε
 = l)
ça signifie
∀ε>0 ∃µ>0 tel que x < -µ ⇒ |f(x)-l|<ε
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DMJ: 19/07/2018