MATHSOTOP

Exo8

Montrer que la somme des inverses des nombres premiers est divergente

Solution
On va raisonner par absurde. Supposons que la série ∑1/p soit convergente, donc il existe un k tel que le reste R_k tend vers zéro 0 et on aura
R_k < 1/2

Soit n un entier et E = {1, 2, 3, ... ,n} on va partager E en 2 parties disjointes de façon suivante:
A c'est l'ensemble des éléments de E dont la décomposition comporte au moins un des p_k+1, p_k+2, ...
B c'est l'ensemble des éléments de E dont la décomposition ne comporte que des p₁, p₂, ... ,p_k

On va estimer le cardinal de A
Le nombre d'éléments de E qui sont divisibles par p (premier) c'est le nombre de multiples de p dans E
x∈E et p|x
hp = x ≤ n
h ≤ n/p
donc
|A| ≤ n/p_k+1 + n/p_k+2 + n/p_k+3 + ...
|A| ≤ n(1/p_k+1 + 1/p_k+2 + 1/p_k+3 + ..)
|A| ≤ n R_k
|A| ≤ n/2
puis par symétrique on a |B| ≥ 1/2

De même on estime le cardinal de B
x∈B on va mettre tous les carrées devant, càd mettre x sous la forme: x = t²q (q=pas de facteurs carrées)
or
t² ≤ x ≤ n d'où
t ≤ √x ≤ √n => t ≤ √n
Pour t on a au maximum √n choix
pour q = p₁^ap₂^b... p_k^z , les puissances a, b, ... z peuvent être 0 ou 1 donc pour q on a 2^k choix
|B| ≤ 2^k√n
n/2 ≤ |B| ≤ 2^k√n

finalement
√n ≤ 2^k+1
ce qui est absurde car la racine carrée √n tend vers infini quand n tend vers infini donc elle ne peut pas être bloquée par 2^k+1

1 2 3 [4] 5 6

Accueil

DMJ: 19/07/2018