Exo4
On veut démontrer la célèbre formule de J. Machin:
Solution1
D'abord on va rappeler 2 formules:
Posons;
tan(a) = x
a = Arctan(x)
On prend x = 1/5
D'après (*)
Maintenant ajoutons -Arctan(1/k)
Calculons
La formule Arctan(a) - Arctan(b) donne
On veut avoir une fraction = 1 donc
120k-119 = 120+119k
k = 239
Solution2
D'abord on va rappeler les formules:
Posons;
tan(a) = 1/5
a = Arctan(1/5)
donc
Solution3
Une façon moderne de démontrer cette formule c'est de passer par les nombres complexes !!
Voyons voir
Un nombre complexe peut s'écrire sous de différentes formes:
z = a + bi la forme algébrique
z = r(cosθ + i.sinθ) la forme trigonométique
z = reiθ la forme exponentielle
avec
r = √(a² + b²)
sinθ = b/r
cosθ = a/r
donc avec la forme trigo on a:
tanθ = sinθ/cosθ = b/r . r/a
tanθ = b/a
θ = Arctan(b/a)
|z| = r se nomme module de z
arg(z) = θ se nomme argument de z et on a les formules
arg(zz') = arg(z)+arg(z')
arg(z/z') = arg(z)-arg(z')
Maintenant si on a la relation:
(a + i)p(b + i)q = m(1+ i) avec m=réel
alors en passant par les arguments, on aura:
p.Arctan(1/a) + q.Arctan(1/b) = π/4
Pour notre formule on vérifie qu'on a bien:
(5 + i)4(239 + i)-1 = 2(1+ i)
d'où
4.Arctan(1/5) - Arctan(1/239) = π/4
NOTE
Il y a d'autres relations sur les complexes qui nous donnent d'autres relations sur les Arctan, par exp
(2 + i)(3 + i) = 5(1+ i)
d'où
Arctan(1/2) + Arctan(1/3) = π/4
(3 + i)2(7 + i) = 50(1+ i)
2.Arctan(1/3) + Arctan(1/7) = π/4
(2 + i)2(7 + i)-1 = (1+ i)/2
2.Arctan(1/2) - Arctan(1/7) = π/4
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DMJ: 19/07/2018