Exo5
Le produit de deux entiers consécutifs (non nul) n'est pas un carré.
Solution
Supposons que n(n+1) = u² alors dans la décomposition (en facteurs premiers) de u² on n'a que des puissances pairs:
u² = a4b2 c6 d2 e6...
comme n et (n+1) sont premier entre eux, on ne peut pas couper u² comme ça
n = a4b2 c2
et
n+1 = c4 d2 e6...
car il y aura un diviseur commun c2, donc on doit couper u² "juste" càd
n = a4b2
n+1 = c6 d2 e6...
autrement dit n est (n+1) sont de la forme
n = p²
n+1 = q²
d'où
q² - p² = 1 ==> (q-p)(q+p) = 1
q - p = 1
q + p = 1
2q = 2 ==> q = 1 ==> p = 0 ==> n = 0 contradition
finalement n(n+1) ne peut pas être un carré.
exemple 1260 = 35x36 ne peut pas être un carrée
Exo6
Le produit de trois entiers consécutifs (non nul) n'est pas un carré.
Solution
Soit n ≥ 2, et supposons que (n-1)n(n+1) = n(n²-1) = u² alors la décomposition de u² n'a que des puissances pairs:
u² = a4b2 c6 d2 e6...
comme n et (n²-1) sont premier entre eux, on doit donc couper "juste"
autrement dit (n²-1) est de la forme
n² - 1 = q²
n² - q² = 1
d'où
(n - q)(n + q) = 1
n - q = 1
n + q = 1
n = 1 ==> contradition avec n ≥ 2
finalement (n-1)n(n+1) ne peut pas être un carré.
Exo7
Le produit de quartre entiers consécutifs (non nul) n'est pas un carré.
Solution
Soit n ≥ 2, et supposons que (n-1)n(n+1)(n+2) = u²
or on remarqu'on a
(n-1)n(n+1)(n+2) = (n²+n-1)² - 1
d'où
(n²+n-1)² - 1 = u²
(n²+n-1)² - u² = 1
ce qui est impossible
finalement (n-1)n(n+1)(n+2) ne peut pas être un carré.
1 2 [3] 4 5 6
Accueil
DMJ: 19/07/2018