Exercice
On veut montrer l'associativité de pgcd et ppcm, c'est-à-dire
pgcd(pgcd(a,b),c) = pgcd(a,pgcd(b,c)) et
ppcm(ppcm(a,b),c) = ppcm(a,ppcm(b,c))
Solution
1. pgcd(pgcd(a,b),c) = pgcd(a,pgcd(b,c))
Soient
u = pgcd(a,b) => u|a et u|b u=plus grand
v = pgcd(b,c) => v|b et v|c v=plus grand
d = pgcd(u,c) => d|c
d|u , u|a => d|a
d|u , u|b => d|b
de même
d' = pgcd(a,v) => d'|a
d'|v , v|b => d'|b
d'|v , v|c => d'|c
or
d|b , d|c => d|v
d|a, d|v => d|d'
par symétrique on a aussi d'|d
d|d' => kd = d'
d'|d => k'd' = d
k'kd = k'd' = d => k'k = 1 => k = k'= 1
finalement d=d'
2. ppcm(ppcm(a,b),c) = ppcm(a,ppcm(b,c))
Soient
u = ppcm(a,b) => a|u et b|u u=plus petit
v = ppcm(b,c) => b|v et c|v v=plus petit
m = ppcm(u,c) => c|m, u|m
a|u , u|m => a|m
b|u , u|m => b|m
de même
m' = ppcm(a,v) => a|m' , v|m'
b|v , v|m' => b|m'
c|v , v|m' => c|m'
or
b|m , c|m => v|m
a|m, v|m => m'|m
par symétrique on a aussi m|m'
m|m' => km = m'
m'|m => k'm' = m
k'km = k'm' = m => k'k = 1 => k = k'= 1
finalement m=m'
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DMJ: 19/07/2018