Exemples de lagrangien
Soit K un système à étudier, pour fixer des idées on suppose que le système dépend une seule paramètre σ et comme le système évolue
σ est en fonction de t, σ=σ(t) et σ'=dσ/dt . Ce système K est caractérisé par une fonction son lagrangien L(σ,σ') une sort d'énergie.
L'expérence montre que le lagrangien est une différence de deux énergies: "énergie-cinétique" - "énergie-potentiel". Et l'évolution du système est décrit par l'équation de Lagrange.
1. Une particule libre m (de masse m).
σ = x position de la particule
L(x,x') = mx'²/2
dt(∂σ'L) = ∂σL
dt(mx') = 0
x" = 0
2. Une particule m plongé dans un champ gravitation g.
σ = x position de la particule
L(x,x') = mx'²/2 + mgx
dt(∂σ'L) = ∂σL
dt(mx') = mg
x" = g
3. Circuit LC.
σ = q la charge
L(q,q') = Lq'²/2 - q²/2C
dt(∂σ'L) = ∂σL
q" + q/LC = 0
4. Pendule simple l.
σ = β angle de rotation
L(β,β') = ml²β'²/2 - mglβ²/2
dt(∂σ'L) = ∂σL
β" + gβ/l = 0
5. Ressort horizontal k.
σ = x position de m
L(x,x') = mx'²/2 - kx²/2
dt(∂σ'L) = ∂σL
x" + kx/m = 0
Slogan : Pour trouver le lagrangien : "On met ce qu'il faut pour avour ce qu'on veut ! "