Problème de parité

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Problème de parité 1/6
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En tant que cubeurs, vous rencontrez tôt ou tard l'expression suivante : "Problème de parité" . C'est une expression couramment employée à tort et à travers sur Youtube et dans les forums ...

Voyons de plus près ...

Voici un certain nombre d'états ...


que la plupart des gens pensent (à tort) qu'ils posent un problème ... le "Problème de parité" .
Pour comprendre il faut remonter à la source.... le Rubik's Cube !!
En Rubik's Cube les rotations standards (de base) sont {H,B,A,P,G,D} et à partir de ces rotations on démontre qu'il y a 3 lois:
rappelons brèvement ces lois:
1. Loi des flips : On pivote toujours 2 arêtes
2. Loi des twists : Quand on pivote les sommets on pivote:
-Soit deux sommets dans les sens opposés
-Soit trois sommets dans le même sens.
3. Loi de parité : Quand on échange 2 sommets, on doit aussi échanger 2 arêtes et inversement.
Lorsqu'on viole une de ces lois on dit qu'on a un problème.
Si on viole la loi des flips on dit qu'on a un problème des flips (ou un problème d'orientation).
Si on viole la loi des twists on dit qu'on a un problème des twists (ou un problème d'orientation).
Si on viole la loi de parité on dit qu'on a un problème de parité.

Voici un état du Fisher Cube(état monoflip)

que les gens appellent (à tort) un problème de "parité" , pour être plus correct on devrait dire un problème des "flips" (d'orientation) car on a violé la loi des flips . Mais en réalité on n'a violé aucune loi !! on a bien pivoté 2 arêtes (HA) et (HD) !!! Mais comme l'arête (HD) orange est invariante par pivotement on voit finalement une seule arête (HA) est pivotée.


De même, voici un état du Barrel (état parité)

que les gens appellent un problème de "parité" , car on a violé la loi de parité . Mais en réalité on n'a violé aucune loi !! on a bien permuté les arêtes (AG) et (AD) et les sommets (BGA) et (BAD) !!! Ce qui nous donne l'impression de permuter les sommets (HAG) et (HDA).
En résumé ces états ne sont pas des états illégaux, mais ce sont des états légitimes, on les appelle simplement les états singuliers

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Problème de parité 2/6
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Un Rubik's Cube ayant les centres orientés se nomme un Super Rubik's Cube. Pour un Super Rubik's Cube on a une quatrième loi : la loi des centres.
La loi des centres :
Quand on pivote les centres (sans toucher les autres pièces) : La somme des degrés des 6 centres est un multiple de 180.
Donc à l'état résolu on trouve :
-Des centres à 180°
-Ou des couples de centres à (90°,-90°)
-Ou des couples de centres à (90°,90°)
-Ou des couples de centres à (-90°,-90°)
etc ...

Quand on viole cette loi on dit qu'on a un problème des centres (ou un problème d'orientation).

Voici un état du Windmill (état monotwist)

que les gens appellent (à tort) un problème de "parité" , pour être plus correct on devrait dire un problème des "centres" car on a violé la loi des centres . Mais en réalité on n'a violé aucune loi !! on a bien pivoté 2 centres (H) et (G) !!! Mais comme le centre (H) blanc est invariant par pivotement on voit finalement un seul centre (G) est pivoté, cet état est simplement un état singulier.

En Rubik's Cube ou pour tout cube ayant le core 3x3x3 on ne peut pas violer ces quatre lois, donc pour donner l'impression de violer ces lois on essaie de modifier la forme des pièces comme exemple :
Le Barrel, le Fisher Cube, Windmill ....
Les états où on a l'impression de violer les lois s'appellent les états singuliers (pseudo-problème).
Donc pour un 3x3x3 on aura jamais des "problèmes" de parité ou d'orientation !!!

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Problème de parité 3/6
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Pour bien comprendre ce phénomène (les singularités) prenez un Rubik's Cube standard et modifiez les stickers comme indique la figure ci-dessous


On mélange le cube, et on le résout normalement.
On peut tomber sur l'état singulier suivant:


Cet état singulier comporte 3 singularités:

Singularité1 : Pivoter une arrête
Singularité2 : Pivoter un sommet
Singularité3 : Permuter deux arêtes

On a l'impression de violer les trois lois, mais en réalité non.
-Pour la singularité1 on a bien pivoté deux arêtes (HA) et (BP) mais comme (BP) est invariante par pivotement du coup on ne voit qu'une seule arête (HA) pivotée.

-Pour la singularité2 on a bien pivoté deux sommets (HDA) et (BPG) de sens opposé mais comme (BPG) est invariant par pivotement du coup on ne voit qu'un seul sommet (HDA) pivoté.

-Pour la singularité3 on a bien permuté deux couples d'arêtes (HA,HD) et (PG,BP) (donc signature(arêtes)=signature(sommets)) , mais comme (PG) et (BP) sont identiques on ne voit pas leur échange du coup on ne voit qu'une seule permutation (HA,HD).

Pour fixer ces singularités , on pose:
X = AH²A² .B'[H'G']B .A²H'A'H' = (HA)°(HD)°
Y = (D' BDABA' ) . H'(AB' A' D' B' D)H = (HAG)-(HDA)+
Z = HD²AG .A'DG'A'D.[GA'] = (HG,HP)(HA,HD)

fixer la singularité1 : (P'D')X(DP)
fixer la singularité2 : (P'G)Y(G'P)
fixer la singularité3 : G²Z'G²

REMARQUE : les états sigularité1, singularité2, singularité3 sont obtenus par des rotations de base donc aucun problème !!!!

Conclusion:
Pour parler de "Problème de parité" sur un twist donné il faut :
1. Désigner qui sont les rotations standards.
2. Montrer qu'on a une loi de parité (à partir des rotations standards) : signature(pièce_de_type1) = signature(pièce_de_type2)
3. Trouver un état de parité, c-à-d un état où l'on a violé la loi de parité.

En Rubik's Cube (ou en Rubik's Cube déguisé) on ne viole jamais les lois donc parler des problèmes de parité pour un Rubik's Cube et ses déguisés est absurde !!

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Problème de parité 4/6
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Il y a un autre cube qui peut générer des états singuliers, mais très peu de gens le connaissent.
il s'agit du Golden Cube origine (1999), ou plus récemment le Golden Cube-II (2014)
Le Golden Skewb Ultimate origine (2018) de Tony Fisher
et le Golden Cube de FANGCUN (2017)

Le Skewb ou le SuperSkewb (Skewb Ultimate)) !!
En Skewb les rotations standards sont les 8 rotations-sommets à 120° {A,P,G,D,B,H,O,E}
à partir de ces rotations on démontre qu'on a les lois suivantes:
-Lois des twists:
Quand les sommets sont isolés on a la loi des twists :
* somme(sommet-Impair) = un multiple de 3
* somme(sommet-Pair) = un multiple de 3
-Loi de parité:
* sig(sommets) = 1
* sig(centres) = 1
Pour un SuperSkewb on a en plus la loi des centres :
-Loi des centres:
On pivote toujours deux centres, chaqu'un à 180°.

1) Le Golden Cube origine de Tony (ou le Golden Cube de FANGCUN 2017) peut générer le singularité-sommet : Pivoter un seul sommet !!
2) Le Golden Cube-II peut générer deux singularités :
- le singularité-sommet : Pivoter un seul sommet
- le singularité-centre : Pivoter un seul centre à 180°
3) Le Golden Skewb Ultimate origine (2018) peut générer le singularité-sommet : Pivoter un seul sommet !!





**Le Golden Cube origine de Tony Fisher (c'est un SuperSkewb) possède un parfait triangle équilatéral T (un sommet)
qui est invariant par pivotement. Cette pièce peut donc engendrer un état singulier-sommet !
càd il peut arriver qu'on a un seul sommet à pivoter !
En réalité on a pivoté deux sommets T et son opposé à 90° et -90°, on n'a pas violé la loi des twists, donc c'est un état singulier

Remarque le Golden Cube de Mefferts (2007) n'a aucune singularité !!

**En 2014 Tony a réalisé la version II du Golden Cube, celui-ci a deux pièces symétriques !
1) le triangle équilatéral T (un sommet)
2) un carré C (un centre)
ce qui fait que le twist peut engendrer 2 singularités !
singularité-sommet (comme le Golden Cube origine 1999)
singularité-centre : un seul centre à pivoter 180°





**Le Golden Skewb Ultimate origine (2018) de Tony possède lui aussi un parfait triangle équilatéral T (un sommet)
qui est invariant par pivotement. Cette pièce peut donc engendrer un état singulier-sommet !
càd il peut arriver qu'on a un seul sommet à pivoter.


Le Golden Skewb Ultimate (2019) de Mefferts ne possède pas des pièces symétriques donc ne peut pas engendrer des états singuliers !


Singularité-sommet du Golden Cube de FANGCUN (2017)

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Problème de parité 5/6
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**HELICOPTER
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Le vrai probleme de parité se trouve chez Helicopter.
En effet l'Helicopter peut générer les états de parités:
Les rotations standards chez l'Helicopter sont les 12 rotations d'arêtes à 180° {A,G,P, ... }
là partir de ces rotations on démontre qu'on a une loi de parité.
Loi de parité:
-Quand le twist se trouve sous la forme cubique on a la loi de parité suivante :
sig(sommets) = sig(feuilles)
Voici les états de parité, c'est un problème de parité car on a violé la loi de parité.




On tombe sur les états de parité parce qu'on a mélangé le cube par les rotations non-standard a,g,p, ... à 60°
Pour fixer ces parités il faut utiliser des rotations non-standards a,g,p, ...


**SQUARE-1
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Le Square-1 lui aussi peut générer les états de parités .
On pose :
S=1/3/-1
Q=1/3B/-1
E=-B/3/B
T=-B/3B/B
Les rotations standards chez le Square-1 sont {3, 3B, S, Q, E, T}
à partir de ces rotations on démontre qu'on a une loi de parité.
Loi de parité:
-Quand le twist se trouve sous la forme cubique on a la loi de parité suivante :
sig(sommets) = sig(arêtes)
Voici un état de parité, c'est un problème de parité car on a violé la loi de parité.


On tombe sur les états de parité parce qu'on a mélangé le cube par les rotations non-standard 1,/,B
Pour fixer ces parités il faut utiliser des rotations non-standards 1, /, B

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Problème de parité 6/6
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Voici un résumé:

* Barrel :
Rotations standards : {H,B,A,P,G,D}
Loi de parité: sig(sommets) = sig(arêtes)
L'état

est un état singulier (pseudo-problème)

* Skewb, Skewb Ultimate, SuperSkewb :



Les rotations standards (rotations de base) sont les 8 rotations-sommets à 120° :
Rotations standards : {A,P,G,D,B,O,E,H}
-Loi des twists ==> Quand les sommets sont isolés on a la loi des twists :
* somme(sommet-Impair) = un multiple de 3
* somme(sommet-Pair) = un multiple de 3
-Loi de parité :
signature(sommets-Impair) = 1
signature(sommets-Pair) = 1
signature(centres) = 1
Pour un SuperSkewb (Skewb Ultimate) on a en plus :
-Loi des centres :
On pivote toujours deux centres, chaqu'un à 180°

Voici les skewb qui peuvent générer les singularités :

* Golden Cube origine (1999) de Tony Fisher
* Golden Cube-II (2014) de Tony Fisher
* Golden Skewb Ultimate (2018) de Tony Fisher
* Golden Cube (2017) de FANGCUN




* Golden Cube (2017) de FANGCUN



* Helicopter :
Rotations standards : {H,B,A,P,G,D, ....} 12 rotations-arêtes à 180°
Le twist est sous la forme cubique: ==> Loi de parité: sig(sommets) = sig(feuilles_meme_orbite)
L'état

est un état de parité (problème de parité)

* Square-1 :
Rotations standards : {3, 3B, S, Q, E, T}
avec :
S=1/3/-1
Q=1/3B/-1
E=-B/3/B
T=-B/3B/B
Le twist est sous la forme cubique ==> Loi de parité: sig(sommets)=sig(arêtes)
L'état

est un état de parité (problème de parité)

* Void Cube :
Rotations standards : {H,h,a,P,G,D}
Loi de parité: pas de loi de parité
L'état

est un état légale nommé état singulier

* Revenge :
Les rotations de base : {H, B, A, P, G, D, h, b, a, p, g, d}
Voici les lois du Revenge :


(T) L'orientation des sommets est un multiple de 3
(P) Les sommets et les centres sont en phase ( signature(sommets) = signature(centres) )

L'état


est un état légal particulier nommé l'état singulier

Cet état ne viole aucune de ces 2 lois, c'est un état légal, la preuve c'est qu'il
provient des rotations de base.

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S'il y a des lois et qu'on se trouve dans un état où l'on viole ces lois alors on a :
==> un problème de parité si on viole les lois de parités.
==> un problème d'orientation si on viole les lois d'orientation .

sinon les états légaux particuliers sont nommés en états singuliers c'est tout.