Le groupe du Pocket

28 Apr 2018

Structure mathématique du Pocket Soit G l'ensemble des états produits par des formules M = <H,B,A,P,G,D> , munie la loi '.' forme un groupe: Le groupe du Pocket.


Orientation des sommets

Ici on fait la même chose comme le Rubik's Cube, il y a des des emplacements à 3 facettes marquées comme indiqué sur la fig.1, et les sommets (numérotés comme indiqué la fig.2 ) ayant 3 couleurs dont l'une est dominante.

fig1: Les emplacements avec les facettes marquées
0 = bien orienté

fig2: Les sommets numérotés

Voici les sommets avec la couleur dominante en premier:
blanc et jaune sont des couleurs dominantes

y1=(blanc,rouge,vert), y2=(blanc,vert,orange), y3=(blanc,orange,bleu), y4=(blanc,bleu,rouge)
y5=(jaune,vert,rouge), y6=(jaune,orange,vert), y7=(jaune,bleu,orange), y8=(jaune,rouge,bleu),

(blanc, jaune) = couleurs dominantes


Les sommets yi se baladent pour se placer dans les trous-sommets, à chaque fois que la couleur dominante se trouve sur une facette marquée 1 son orientation vaut 1 (1 twist) , sur 2 son orientation vaut 2 (2 twists) , sur 0 son orientation vaut zéro (0 twist, 0=bien orienté). Par exemple, le sommet y6=(jaune,orange,vert) se place en (HDA) avec (H=orange,D=vert, A=jaune) alors y6 vaut 2 (2 twist2) car la couleur dominante jaune est sur la facette 2, de même pour le sommet (blanc,rouge,vert)=y1 dans (HAG) avec (H=vert,A=blanc,G=rouge) alors y1=1 (1 twist) car la couleur dominante blanc se trouve sur 1 .

Loi des twists

La loi des twists dit: la somme des orientations des sommets (en abrégeant: l'orientation des sommets) est un multiple de 3
∑ yi = 0 (mod 3) ou en abrégé y = 0 (mod 3) avec y = (y1,y2,y3,...,y8)
on dit qu'il y a une conservation des twists .

Il suffit de montrer que c'est vrai pour une rotation de base, par exemple A ==> (p,a).
D'après le marquage on a:
(HAG)=(y2,y2+1,y2+2) , (HDA)=(y1,y1+1,y1+2),
(BGA)=(y6,y6+1,y6+2) , (BAD)=(y5,y5+1,y5+2).

Orientation des sommets


Permutation: p = 1->5->6->2 = (1,5,6,2)

y'1 = y5+2
y'2 = y1+1
y'3 = y3
y'4 = y4
y'5 = y6+1
y'6 = y2+2
y'7 = y7
y'8 = y8

Orientation: a = (2,1,0,0,1,2,0,0) on a bien a = 0 (mod 3)
y' = a + p(y)

Démonstration:
On va démontrer par récurrence:
Supposons à l'état n (T formule de longeur n ==> état (v,y) ) l'orientation des sommets vaut y = 0 (mod 3).
On passe de l'état n à l'état n+1 (T' formule de longeur n+1 ==> état (v',y') ) par une rotation de base, par ex A ==> (p,a).
T' = TA ==> (v',y') = (v,y)(p,a)
Donc
y' = y + v(a)
Comme a = 0 (mod 3) et que la permutation v ne change rien sur le modulo , on a
y' = 0 (mod 3).
Donc à l'état (n+1) les sommets ont une orientation un multiple de 3, comme au départ, à l'état resolu l'orientation des sommets vaut 0, donc quel que soit l'état du cube l'orientation des sommets est toujours un multiple de 3. On a fait la démonstration pour la rotation A et on ferra la même chose pour les autres rotation de base.

Ainsi la loi est démontrée.

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DMJ: 28/04/2018









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