Les 4 antagonismes du Rubik's Cube

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Les 4 antagonismes du Rubik's Cube

Message non lupar morphocode » Ven 23/04/2021 11:55

Il y a 4 antagonismes du Rubik's Cube : Formule , Permutation des pièces, Etat, Permutation des étiquettes, dont il y a beaucoup de confusions ......
Pour simplifier la discution, on regarde seulement les sommets (pour les arêtes c'est pareil).

==> Imaginer qu'on a un Rubik's Cube monochrome ! comme ceci
Image

On a donc 6 rotations de base : {H,B,A,P,G,D}
Une formule Q est une suite finie de rotations de base et leur inverse,
Pour fixer des idées on prend par ex la formule Q = A.

==> de l'autre côté on a des sommets (des pièces) numérotés ainsi :
Image
On voit que la formule Q engendre une permutation des sommets v qui déplace des pièces ainsi 1->5->6->2 on note aussi (1,5,6,2)
v = (1,5,6,2)

==> un autre antagonisme, une configuration des étiquettes , nommé état s=(v,y)
où y = vecteur orientation
Image

état s=(v,y)

Dans s on retrouve la permutation v des pièces v=(1,5,6,2) mais alors comment trouver y ? les orientations des sommets ?
Pour ça il faut connaitre la table de marquage ci-dessous
Image

on regarde :
Image

et on trouve
y1=-1, y2=1, y3=0, y4=0, y5=1, y6=-1, y7=0, y8=0

d'où le y = (-1,1,0,0,1,-1,0,0)


==> un dernier antagonisme , les étiquettes sont numérotés ainsi :
Image
On voit que la rotation A engendre une permutation des étiquettes PA qui déplace les étiquettes ainsi
pA = (7,44,10,37)(18,21,23,20) (8,46,9,35)(41,11,40,6)(19,24,22,17)

Permutations des étiquettes (arête,sommet)
pH = (7,4,2,5)(18,34,26,42) (8,6,1,3)(41,17,33,25)(19,35,27,43)
pB = (10,13,15,12)(23,47,31,39) (11,16,14,9)(24,48,32,40)(46,30,38,22)
pA = (7,44,10,37)(18,21,23,20) (8,46,9,35)(41,11,40,6)(19,24,22,17)
pP = (2,36,15,45)(26,29,31,28) (1,38,16,43)(33,14,48,3)(27,32,30,25)
pG = (4,20,12,29)(34,37,39,36) (6,22,14,27)(17,9,32,1)(35,40,38,33)
pD = (5,28,13,21)(42,45,47,44) (8,25,16,24)(41,43,48,46)(19,3,30,11)


On voit donc il y a de grande différence entre Q, v, s, PA

¤ Q = formule
¤ v = (1,5,6,2) permutation des sommets
¤ s = (v,y) où v=(1,5,6,2) et y=(-1,1,0,0,1,-1,0,0) état
¤ pA= (7,44,10,37)(18,21,23,20) (8,46,9,35)(41,11,40,6)(19,24,22,17) permutation des étiquettes


formule ≠ permutation des pièces ≠ état ≠ permutation des étiquettes
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Re: Les 4 antagonismes du Rubik's Cube

Message non lupar morphocode » Ven 23/04/2021 12:42

Dans le camp de Formules on a une serie de vocabulaires:

Formule = mouvement = mélange = mannoeuvre
commutateur [AB] = ABA'B'
conjugaison XAX' , X=formule
formule inverse
longueur d'une formule
pivoter, placer , ranger, glisser
.....

Dans le camp de Permutation on a une serie de vocabulaires:

signature
k-cycle
transposition
.....

Dans le camp d' Etat on a une serie de vocabulaires:

état = configuration = motif
produit de deux état
vecteur orientation
orientation
état résolu
....
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Re: Les 4 antagonismes du Rubik's Cube

Message non lupar morphocode » Lun 31/05/2021 09:41

1. Les formules forment un groupe M nommé le groupe des formules du Rubik's Cube. M est engendré par les rotations de base.
M = < H,B,A,P,G,D >

2. Les permutations des étiquettes gènèrent un groupe Λ nommé le groupe des permutations du Rubik's Cube.
Λ = < PH, PB, PA, PP, PG, PD >

3. Les états forment un groupe G nommé le groupe du Rubik's Cube.

Ces trois groupes sont tous distincts mais il ont le même nombre d'éléments ils sont équipotants.

REMARQUE IMPORTANT :
1) Certain auteur note la permutation des étiquettes PA par A ce qui donne la confusion entre une permutations et une rotation !! entre M et Λ :cdingue: :cdingue: :facher:
2) Certain auteur définit Λ comme le groupe du Rubik's Cube !! alors que dans l'écriture PA on ne voit pas les arêtes, les sommets, ni leurs orientations alors que dans l'écriture (u,x,v,y) on voit les arêtes (u), les sommets (v) et leurs orientations x, y
La définition que les états c'est le groupe du Rubik's Cube convient mieux. Λ et G sont équipotants simplement.
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