Permutation

Si le côté mathématique du Cube vous intéresse, alors passez par ici ....
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morphocode
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Permutation

Message non lupar morphocode » Ven 4/04/2014 12:53

Permutation
Comme nous allons parler de rotations A,B,H,D,... il faut fixer le cube c'est à dire , dire qui est le Haut, le Bas , l'Avant, etc ... pour nous c'est:
H(aut)=b(lanc), B(as)=j(aune), A(vant)=v(ert), P(ostérieur)=k(lein), G(auche)=o(range), D(roite)=r(ouge).

1. Prenez votre Rubik's Cube à l'état résolu (une couleur par face)
2. Faites : [HD] = HDH'D'
3. Observez le mouvement des pièces:

Image

[HD] = (HP,HD,AD)(HDA,BAD)(HPD)(HGP)

Pour les arêtes , elles sont déplacées ainsi: (HP)->(HD)->(AD) elles se déplacent en cycles, 3 pièces qui se déplacent en cycles se nomme un 3-cycle. on le note:
(HP)->(HD)->(AD) ou (HP,HD,AD) si on donne des noms aux arêtes par ex: (HP)=a, (HD)=b, (AD)=c
on aura a->b->c ou (a,b,c) l'écriture sera moins lourde.

Pour les sommets , ils sont déplacés ainsi: (HDA)->(BAD) et (HPD)->(HGP) ils se déplacent en cycles, ici on a deux 2-cycles, 2 pièces se déplacent en cycle se nomme un 2-cycle ou une transposition. on le note:
(HDA)->(BAD) ou (HDA)<->(BAD) ou (HDA,BAD) si on donne des noms aux sommets par ex: (HDA) =i, (BAD)=j, (HPD)=k, (HGP)=l
on aura (i, j) (k,l) l'écriture sera moins lourde.

Une permutation est un déplacement composé par des cycles : ex p = (a,b,c)(i,j)(k,l)

Traditionnellement on note u la permutation des arêtes et v la permutation des sommets dans notre ex sera donc:
u = (HP,HD,AD) = (a,b,c)
v = (HDA,BAD)(HPD,HGP) = (i,j)(k,l)

la permutation totale p que la formule [HD] gènère est:
p = uv = (HP,HD,AD)(HDA,BAD) (HPD,HGP)
p = (a,b,c)(i,j)(k,l)

REMARQUE IMPORTANT
On note:
p=[3,1,2,4] ça signifie: p(1)=3, p(2)=1, p(3)=2, p(4)=4
p=(3,1,2,4) ça signifie: p(3)=1, p(1)=2, p(2)=4, p(4)=1


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Exercices
Pour voir si vous avez bien compris , faites l'execice suivant
1. Prenez votre Rubik's Cube à l'état résolu.
2. Faites : D' A
3. Observez le mouvement des pièces

Question:
1. Quelle est la permutation u des arêtes ?
2. Quelle est la permutation v des sommets ?
3. Quelle est la permutation p totale ?

:-? :-?
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