Les formules célèbres

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morphocode
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Les formules célèbres

Nouveaux postspar morphocode » Jeu 5/05/2016 12:03

Aujourd'hui on va voir un certain nombre de formules célèbres.
Pour chaque formule on peut associer une longeur, la façon la plus naturelle c'est compter le nombre de rotations que compose
la formule, par exemple
F = HAB²P'G² , longeur(F)=7 on note aussi |F|=7 on dit qu'on a utilisé la métrique quart, 7 q-rotations
Il y a aussi une autre manière de compter les rotations , on compte A² pour 1 c'est-à-dire |A²|=1 donc dans ce cas
|F|= 5f on dit qu'on a utilisé la métrique face, 5 f-rotations. Bref ce n'est pas important les vocabulaires "métrique-quart", "métrique-face"

Pour nous on va prendre la métrique quart, la plus naturelle |F|=7 (q-rotations)
Remarque: il se peut qu'on a deux formules identiques mais qui ont de longeur différente !! par ex: A3 = A' et
|A3|=3 et |A'|=1

Une question naturelle est: une formule donnée, trouver une formule la plus courte, minimale ?

Formules célèbres
1. Le Superflip Φ , toutes les arêtes sont renversées.
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Φ = D'H²PG' AH'PBA HB'GB² A'DP'BA' H'P'HB' (trouvé par Michael Reid par ordinateur), en 1995 Jerry Bryan démontre que c'est une formule minimale
|Φ|=24
Le Superflip a une prpriété étonnante, il commute avec tout le monde ! c-à-d ΦU=UΦ quel que soit la formule U.


2. Le Superdur w
w = A DG'PBA D'HBPD' B'D'PH² B²P²D GB²DG
Michael Reid démontre que c'est une formule minimale |w|=26
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3. Miniflip (4 arêtes-Haut flippées) , cet état représente le nombre -1
-1 = A' H' G' H P' H² P G H A H' D H² D'

4. Nombre complexe i (i²=-1)
i = D P' A D' P A' H P H P' A D' A' D'


5. On peut remplacer une rotation de base par les 5 autres, par ex:
B = (DG'A²P²DG')H(DG'A²P²DG') (Roger Penrose)
Cela signifie qu'on a besoin que 5 rotations pour s'en sortir !!

6. On sait que M est engendré pas 6 rotations de base M = < H,B,A,P,G,D > mais on démontre que M est aussi engendré pas deux formules (2 générateurs) T, K
M = < T,K > où T = HPGHG'H'P' et K = D²AGB'D' (Frank Barnes)

7. L'ordre maximal 1260
Quand on a H4 = I on dit que H est l'ordre 4, [HD]6 = I le crochet [HD] est l'ordre 6.
On démontre que l'ordre maximal d'ume formule est 1260, voici une formule qui donne l'ordre maximal 1260 :
Q = DH²B'PB' => (DH²B'PB')1260 = I

Il est remarquable que l'ordre maximal d'une formule est un quatrix !! (un nombre qui s'écrit avec quatre chiffres 4 et avec les 7 oppérations
{+, -, x, /, √ , a^b, ! }

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