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Les classes J-conjugaison de Pocket : 1841970

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Les classes J-conjugaison de Pocket : 1841970

Publié : Lun 30/06/2025 16:03
par Morphocode
Les classes J-conjugaison de Pocket : 1841970

Soit J le groupe des isométries du cube (48 éléments).

** On sait que J est inclus dans S48 grâce au théorème : K un goupe fini alors K est isomorphe à un sous groupe de S|K|
** Et Λ est aussi inclus dans S48
Λ = < pH, pB, pA, pP, pG, pD >

On va définir une relation d 'équivalence dans Λ de la façon suivante:

(p,q) ∈Λ, p~q <=> il existe f ∈J tel que fpf-1 = q ; comme p,q,f ∈ S48 la déf a un sens

les classes de cette relation se nomment les classes J-conjugaison.

Le nombre de classes w est donné par la formule de Burnside :
w = 1/|J| Σ |Ff| ; sommer sur (f ∈J)
Ff = {p ∈ Λ | fpf-1 = p}
Ff = {p ∈ Λ | fp = pf}

On calcule w en GAP :

Code : Tout sélectionner

#gap_rubik-J-cjg-burnside.txt
#model Rubik's Cube en GAP
#                5   6  7
#                4   H  8
#                 3   2  1
# 25 28 23 | 21 26 19 | 17 32 31 | 29 30 27
# 38  G 36 | 12 A  10 | 34 D  40 | 16 P  14
# 43 44 37 | 39 42 33 |35 48 45 | 47 46 41
#                 11 18 9
#                 20  B  24
#                13   22 15
# H=49,B=50,A=51,P=52,G=53,D=54

# Iso=le groupe isometries du cube (48 éléments)
j1 := (6,46,18,26)(8,14,24,12)(38,48,36,32)(2,30,22,42)(16,20,10,4)(28,40,44,34)
(5,45,11,17)(7,13,9,3)(21,31,41,35)(43,33,23,29)(1,25,15,37)(47,39,19,27) ;
j2 := (6,16,22,14)(8,24,20,4)(38,30,40,46)(2,10,18,12)(28,32,48,44)(34,42,36,26)
(5,31,15,43)(7,45,13,25)(21,19,33,39)(1,35,11,23)(47,41,27,29)(3,17,9,37);
Iso := Group(j1,j2) ;
#NrConjugacyClasses(Iso) ;

# Dep=le groupe isometrie+ (deplacement=rotation) du cube (24) Dep = ssg de Iso
#d1 := (1,11)(2,18)(3,9)(4,24)(5,15)(6,22)(7,13)(8,20)(10,12)
#        (14,16)(17,37)(19,39)(21,33)(23,35)(25,45)(26,42)(27,47)(28,48)(29,41)
#        (30,46)(31,43)(32,44)(34,36)(38,40);
#d2 := (1,15)(2,22)(3,13)(4,20)(5,11)(6,18)(7,9)(8,24)(10,16)(12,14)
#        (17,45)(19,47)(21,41)(23,43)(25,37)(26,46)(27,39)(28,44)(29,33)(30,42)
#        (31,35)(32,48)(34,40)(36,38) ;
#d3 := (1,17,19)(2,32,10)(3,31,33)(4,40,42)
#        (5,45,39)(6,48,12)(7,35,21)(8,34,26)(9,23,29)(11,25,47)(13,43,41)
#        (14,22,44)(15,37,27)(16,18,28)(20,38,46)(24,36,30);      
#d4 := (1,35,11,23)(2,10,18,12)(3,17,9,37)(4,8,24,20)(5,31,15,43)
#        (6,16,22,14)(7,45,13,25)(19,33,39,21)(26,34,42,36)(27,29,47,41)
#        (28,32,48,44)(30,40,46,38) ;            
#Dep := Group(d1,d2,d3,d4) ; #à 4 générateurs
#sgs := SmallGeneratingSet(Dep);
#Length(sgs);
 
d1 := (1,29,15,33)(2,6,22,18)(3,27,13,39)(4,38,20,36)(5,41,11,21)
(7,47,9,19)(8,40,24,34)(10,32,16,48)(12,28,14,44)(17,31,45,35)(23,25,43,37)(26,30,46,42);
d2 := (1,45,27)(2,48,14)(3,35,41)(4,34,46)(5,17,47)(6,32,16)(7,31,29)
(8,40,30)(9,43,21)(10,22,28)(11,37,39)(12,18,44)(13,23,33)(15,25,19)(20,36,42)(24,38,26);
Dep := Group (d1,d2) ; #à 2 générateurs
#NrConjugacyClasses(Dep) ;
      
#IsSubgroup(Iso, Dep) ;

# Rubik=le groupe des permutations du Rubik's Cube      
#pH := (2,4,6,8)(26,28,30,32) (1,3,5,7)(17,21,25,29)(19,23,27,31) ;
#pB := (18,24,22,20)(42,48,46,44) (9,15,13,11)(33,45,41,37)(35,47,43,39);
#pA := (2,34,18,36)(26,10,42,12) (1,35,11,23)(17,9,37,3)(19,33,39,21);
#pP := (6,38,22,40)(30,14,46,16) (7,25,13,45)(29,27,41,47)(31,5,43 ,15);
#pG := (4,12,20,14)(28,36,44,38) (3,39,13,27)(21,11,41,5)(23,37,43,25);
#pD := (8,16,24,10)(32,40,48,34) (1,29,15,33)(17,31,45,35)(19,7,47,9);
#Rubik := Group(pH,pB,pA,pP,pG,pD);

# Pocket=le groupe des permutations du Pocket (= Rubik sans arêtes)
pH :=  (1,3,5,7)(17,21,25,29)(19,23,27,31) ;
pB :=  (9,15,13,11)(33,45,41,37)(35,47,43,39);
pA :=  (1,35,11,23)(17,9,37,3)(19,33,39,21);
pP :=  (7,25,13,45)(29,27,41,47)(31,5,43 ,15);
pG :=  (3,39,13,27)(21,11,41,5)(23,37,43,25);
pD :=  (1,29,15,33)(17,31,45,35)(19,7,47,9);
Pocket := Group(pH,pB,pA,pP,pG,pD);

# Tori=le groupe des permutations du Tori (Rubik sans sommets)
#pH := (2,4,6,8)(26,28,30,32);
#pB := (18,24,22,20)(42,48,46,44);
#pA := (2,34,18,36)(26,10,42,12);
#pP := (6,38,22,40)(30,14,46,16);
#pG := (4,12,20,14)(28,36,44,38);
#pD := (8,16,24,10)(32,40,48,34);
#Tori := Group(pH,pB,pA,pP,pG,pD);

#################

G := Pocket ;;
Gtxt := "Pocket" ;;
J := Iso ;;
Jtxt := "J" ;;
                
Jcjg := Sum(J,f -> Size(Centralizer(G,f))) / Size(J);;
Print("\n\n ",Gtxt," = ", Size(G), "\n" );
Print("\n classe ",Jtxt,"-cjg = ", Jcjg, "\n" );



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Re: Les classes J-conjugaison de Pocket : 1841970

Publié : Lun 30/06/2025 16:11
par Morphocode
Voici un autre script en GAP qui calcule les classes J-conjugaisons du Pocket

Code : Tout sélectionner

#gap_rubik-J-cjg.txt
#model Rubik's Cube en GAP
#            5  6  7
#            4  H  8
#            3  2  1
# 25 28 23 | 21 26 19 | 17 32 31 | 29 30 27
# 38 G  36 | 12 A  10 | 34 D  40 | 16 P  14
# 43 44 37 | 39 42 33 | 35 48 45 | 47 46 41
#            11 18 9
#            20 B  24
#            13 22 15
# H=49,B=50,A=51,P=52,G=53,D=54

# Iso=le groupe isometries du cube (48 éléments)
j1 := (6,46,18,26)(8,14,24,12)(38,48,36,32)(2,30,22,42)(16,20,10,4)(28,40,44,34)
(5,45,11,17)(7,13,9,3)(21,31,41,35)(43,33,23,29)(1,25,15,37)(47,39,19,27) ;
j2 := (6,16,22,14)(8,24,20,4)(38,30,40,46)(2,10,18,12)(28,32,48,44)(34,42,36,26)
(5,31,15,43)(7,45,13,25)(21,19,33,39)(1,35,11,23)(47,41,27,29)(3,17,9,37);
Iso := Group(j1,j2) ;
#NrConjugacyClasses(Iso) ;

# Dep=le groupe isometrie+ (deplacement=rotation) du cube (24) Dep = ssg de Iso
#d1 := (1,11)(2,18)(3,9)(4,24)(5,15)(6,22)(7,13)(8,20)(10,12)
#        (14,16)(17,37)(19,39)(21,33)(23,35)(25,45)(26,42)(27,47)(28,48)(29,41)
#        (30,46)(31,43)(32,44)(34,36)(38,40);
#d2 := (1,15)(2,22)(3,13)(4,20)(5,11)(6,18)(7,9)(8,24)(10,16)(12,14)
#        (17,45)(19,47)(21,41)(23,43)(25,37)(26,46)(27,39)(28,44)(29,33)(30,42)
#        (31,35)(32,48)(34,40)(36,38) ;
#d3 := (1,17,19)(2,32,10)(3,31,33)(4,40,42)
#        (5,45,39)(6,48,12)(7,35,21)(8,34,26)(9,23,29)(11,25,47)(13,43,41)
#        (14,22,44)(15,37,27)(16,18,28)(20,38,46)(24,36,30);      
#d4 := (1,35,11,23)(2,10,18,12)(3,17,9,37)(4,8,24,20)(5,31,15,43)
#        (6,16,22,14)(7,45,13,25)(19,33,39,21)(26,34,42,36)(27,29,47,41)
#        (28,32,48,44)(30,40,46,38) ;            
#Dep := Group(d1,d2,d3,d4) ; #à 4 générateurs
#sgs := SmallGeneratingSet(Dep);
#Length(sgs);
 
d1 := (1,29,15,33)(2,6,22,18)(3,27,13,39)(4,38,20,36)(5,41,11,21)
(7,47,9,19)(8,40,24,34)(10,32,16,48)(12,28,14,44)(17,31,45,35)(23,25,43,37)(26,30,46,42);
d2 := (1,45,27)(2,48,14)(3,35,41)(4,34,46)(5,17,47)(6,32,16)(7,31,29)
(8,40,30)(9,43,21)(10,22,28)(11,37,39)(12,18,44)(13,23,33)(15,25,19)(20,36,42)(24,38,26);
Dep := Group (d1,d2) ; #à 2 générateurs
#NrConjugacyClasses(Dep) ;
      
#IsSubgroup(Iso, Dep) ;

# Rubik=le groupe des permutations du Rubik's Cube      
#pH := (2,4,6,8)(26,28,30,32) (1,3,5,7)(17,21,25,29)(19,23,27,31) ;
#pB := (18,24,22,20)(42,48,46,44) (9,15,13,11)(33,45,41,37)(35,47,43,39);
#pA := (2,34,18,36)(26,10,42,12) (1,35,11,23)(17,9,37,3)(19,33,39,21);
#pP := (6,38,22,40)(30,14,46,16) (7,25,13,45)(29,27,41,47)(31,5,43 ,15);
#pG := (4,12,20,14)(28,36,44,38) (3,39,13,27)(21,11,41,5)(23,37,43,25);
#pD := (8,16,24,10)(32,40,48,34) (1,29,15,33)(17,31,45,35)(19,7,47,9);
#Rubik := Group(pH,pB,pA,pP,pG,pD);

# Pocket=le groupe des permutations du Pocket (= Rubik sans arêtes)
pH :=  (1,3,5,7)(17,21,25,29)(19,23,27,31) ;
pB :=  (9,15,13,11)(33,45,41,37)(35,47,43,39);
pA :=  (1,35,11,23)(17,9,37,3)(19,33,39,21);
pP :=  (7,25,13,45)(29,27,41,47)(31,5,43 ,15);
pG :=  (3,39,13,27)(21,11,41,5)(23,37,43,25);
pD :=  (1,29,15,33)(17,31,45,35)(19,7,47,9);
Pocket := Group(pH,pB,pA,pP,pG,pD);

# Tori=le groupe des permutations du Tori (Rubik sans sommets)
#pH := (2,4,6,8)(26,28,30,32);
#pB := (18,24,22,20)(42,48,46,44);
#pA := (2,34,18,36)(26,10,42,12);
#pP := (6,38,22,40)(30,14,46,16);
#pG := (4,12,20,14)(28,36,44,38);
#pD := (8,16,24,10)(32,40,48,34);
#Tori := Group(pH,pB,pA,pP,pG,pD);

#################

G := Pocket ;;
Gtxt := "Pocket" ;;
J := Iso ;;
Jtxt := "J" ;;
 
# Les sous groupes conjugués de J
Cl := ConjugacyClassesSubgroups( J );;
h := Length(Cl) ;
ptfixe := [];
etat := 0 ;;
Jcjg := 0 ;;

Print("\n\n No \t etat \t classes-conjugaisons\n" );
Print("================================================== \n" );
# pour toute classe Cl[i], on cherche les pt fixes générés par Cl[i]
for i  in [h,h-1..1]  do

    # prendre un représentant
    H := Representative( Cl[i] );

    # les pt fixes engendrés par H
    aux := Size( Centralizer( G, H ) );

    # si Q inclus dans H,on supprime dans H les pt fixes générés par Q
    for k  in [h,h-1..i+1]  do
        for Q  in Elements( Cl[k] )  do
            if IsSubgroup( Q, H )  then
            aux := aux - ptfixe[k];   
            fi;
        od;
    od;

   # sauver les pt fixes génégrés par H
   ptfixe[i] := aux;

   # print N° classe
   Print("\n ", i, ":\t" );

   # le nbr de pt fixes (= nbr états) générés par Cl[i]
   Print( Size(Cl[i]) *  ptfixe[i], "\t" );
   etat := etat + ( Size(Cl[i]) *  ptfixe[i] );

   # le nbr de classes J-cjg générés par Cl[i]
   Print( (Size(Cl[i]) *  ptfixe[i]) /  Index(J,H), " " );
   Jcjg := Jcjg + ( (Size(Cl[i]) *  ptfixe[i] )/  Index(J,H) );
      
od;
Print("\n\n ",Gtxt," = ", etat, "\n" );
Print("\n classe ",Jtxt,"-cjg = ", Jcjg , "\n" );
      

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