Fan2Cube

Il y a 3 antagonismes du Rubik's Cube : Formule , Etat, Permutation (des autocollants), et il y a beaucoup de confusions ......

Les formules

==> Imaginez qu'on a un Rubik's Cube monochrome ! comme ceci


On a donc 6 rotations de base : {H,B,A,P,G,D}
Une formule V est une suite finie de rotations de base (et leur inverse sous entendu).
par ex : V = D' B D B' H' D B H' D B' D' H²
Donc une rotation de base est une formule..
M = <H,B,A,P,G,D>
M = l'ensemble des formules.

Les états

==> Un autre antagonisme, quand on applique une formule sur l'état résolu du Cube, les pièces bougent et changent l'orientation ce qui donne un état s=(u,x,v,y)
u=permutation des arêtes
x=orientation des arêtes
v=permutation des sommets
y = orientation des sommets


état s=(u,x,v,y) ; une sorte de motif

u=(1,9) , x=0
v=(1,5,6,2) , y = (-1,1,0,0,1,-1,0,0)

Pour retrouver ces donnés il faut connaitre le diagramme d'orientation et numérotation ci-dessous



on regarde :


et on trouve
y1=-1, y2=1, y3=0, y4=0, y5=1, y6=-1, y7=0, y8=0


G = l'ensemble des états


Les permutations
==> Un dernier antagonisme , les permutations :
soit X = {1,2,3,...,48} l'ensemble des 48 autocollants éparpillés sur la table et numérotées ainsi.


à chaque rotation de base {H,B,A,P,G,D} on associe une permutation :

pH = (2,4,6,8)(26,28,30,32) (1,3,5,7)(17,21,25,29)(19,23,27,31) ;
pB := (18,24,22,20)(42,48,46,44) (9,15,13,11)(33,45,41,37)(35,47,43,39);
pA := (2,34,18,36)(26,10,42,12) (1,35,11,23)(9,37,3,17)(19,33,39,21);
pP := (6,38,22,40)(30,14,46,16) (7,25,13,45)(29,27,41,47)(31,5,43 ,15);
pG := (4,12,20,14)(28,36,44,38) (3,39,13,27)(21,11,41,5)(23,37,43,25);
pD := (8,16,24,10)(32,40,48,34) (1,29,15,33)(17,31,45,35)(19,7,47,9);

On a donc 6 permutations de S48.
Soit Λ l'ensemble des permutations engendrées par les 6 permutations {PH, PB, PA, PP,PG, PD}

Λ = < PH, PB, PA, PP,PG, PD >

Trois antagonismes M, G, Λ
Ces trois ensembles sont en bijection, ça signifie qu'ils ont le même nombre d'éléments. |M| = |G| = |Λ|


On voit donc il y a de grande différence entre V, s, PV

¤ V = formule
¤ s = état
¤ pV = permutation (des autocollants)


formule ≠ état ≠ permutation des autocollants

Dans le camp de Formules on a une serie de vocabulaires:

Formule = mouvement = mélange = mannoeuvre
commutateur [AB] = ABA'B'
conjugaison VAV' , V=formule
formule inverse V'
longueur d'une formule |V|
pivoter, placer , ranger, glisser
.....

Dans le camp de Permutation on a une série de vocabulaires:

signature
k-cycle
transposition
.....

Dans le camp d' Etat on a une série de vocabulaires:

état = configuration = motif
produit de deux état
vecteur orientation
orientation
état résolu
....

1. Les formules forment un groupe M nommé le groupe des formules du Rubik's Cube. M est engendré par les rotations de base.
M = < H,B,A,P,G,D >

2. Les permutations des autocollants forment un groupe Λ nommé le groupe des permutations du Rubik's Cube.
Λ = < PH, PB, PA, PP, PG, PD >

3. Les états forment un groupe G nommé le groupe du Rubik's Cube.

Ces trois groupes sont tous distincts mais il ont le même nombre d'éléments ils sont équipotants.

REMARQUE IMPORTANT :
1) Certain auteur note la permutation des autocollants PA par A ce qui donne la confusion entre une permutations et une rotation !! entre M et Λ
2) Certain auteur définit Λ comme le groupe du Rubik's Cube !! alors que dans l'écriture PA on ne voit pas les arêtes, les sommets, ni leurs orientations alors que dans l'écriture (u,x,v,y) on voit les arêtes (u), les sommets (v) et leurs orientations x, y
Définir les états comme le groupe du Rubik's Cube convient mieux. Λ et G sont équipotants simplement.