La notion de signature (on écrit sig) d'une permutation est très importante mais pas bien compliquée.
Définition :
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Soit p une permutation composée de n couples
p = (a,b) (c,d) (c,e) (f,a) ....(x,z) ; il y a n couples
sig(p) = pair, si n est pair (on note 1)
sig(p) = impair, si n est impair (on note -1)
Exemple
p = (a,b) ===> sig(p) = impair = -1
p = (a,b)(a,c) ===> sig(p) = pair = 1
p = (a,b)(c,d)(e,f)(g,h)(t,k) ===> sig(p) = impair = -1
sig(identité) = sig(id) = pair =1 ; car id = zéro couple.
......
La signature d'un cycle
Rappel: un cycle c'est un déplacement des objets en cycle, un 3-cycle c'est 3 objets qui se déplacent en cycle, un 2-cycle c'est 2 objets qui se déplacent en cycle, etc ... un k-cycle c'est k objets qui se déplacent en cycle.
Soit t un 3-cycle, donc 3 objets a,b,c qui se déplacent en cycle et ça s'écrit comme ça: t = a->b->c ou bien t = (a,b,c)
La signature de t c'est très simple , t est un 3-cycle , on fait 3-1=2 , 2 c'est un nombre pair donc sig(t)=pair=1
w = (a,b) un 2-cycle ===> 2-1 = 1 = impair ===> sig(w) = impair = -1
q = (a,b,c,d) un 4-cycle ===> 4-1=3=impair ===> sig(q) = impair = -1
u = (HP)->(HD)->(AD) c'est un 3-cycle ===> 3-1=2=pair ===> sig(u) = pair = 1
v = (HDA)->(BAD) c'est un 2-cycle === 2-1=1=impair ===> sig(v) = impair = -1
Il est plus commode pour les calculs de poser:
sig(k-cycle) = (-1)k-1
Et on a la formule suivante:
sig(uv) = sig(u) . sig(v)
On a la formule :
p = uv
sig(p) = sig(u).sig(v)
par ex
p = uv = (HP,HD,AD)(HDA,BAD) = sig(u) . sig(v) = (-1)3-1 . (-1)2-1 = 1.(-1) = -1 = impair
sig(p) = impair = -1
D'BDABA' = (BDP,BPG,BGA)(AD,BG,BA,BD,BP)
posons
q = (BDP,BPG,BGA)(AD,BG,AB,BD,BP) donc
sig(q) = (-1)3-1 . (-1)5-1 = 1.1 = 1
sig(q) = pair
Résumé: En Rubik's Cube , tout ce qu'on doit savoir:
sig(k-cycle) = (-1)k-1
Et on a la formule suivante:
sig(uv) = sig(u) . sig(v)
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Exercice
Pour voir si vous avez bien compris , faites l'execice suivant
1. Prenez votre Rubik's Cube à l'état résolu.
2. Faites : DHD'
3. Observez le mouvement des pièces
Question:
1. Quelle est la permutation u des arêtes ? la signature de u ?
2. Quelle est la permutation v des sommets ? la signature de v ?
3. Quelle est la permutation p totale ? la signature de p ?
