Rappellez vous, une formule c'est simplement une suite finie de rotations de base H,B,A,.... (et leur inverse H',B',A' .... ) avec les 2 règles suivantes:
1) Dans la suite pas de HH', H'H, AA', A'A, ....
2) Deux formules donnent le même état sont identiques
ex:
HPDD'GA ==> interdit : DD'
ABHG'H²P , GD'HD ==> OK
HdH'd' ==> ce n'est pas une formule à cause d, d' mais par abuse de langage on parle quand même de formule
A' = A3 ==> OK
Il y a une formule spéciale (on ne fait rien) noté I et nommée Identité. L'ensemble des formules est noté M et pour dire que les formules proviennent des rotations de base H,B,A,.... on note
M = < H,B,A,P,G,D >
Il y a une opération définie sur M que vous faites inconsciemment sans le savoir , c'est l'opération "suivi de" en effet quand on fait SV, on fait S "suivi de" V. On peut noter cette opération par un symbole par expemle '.' , donc on écrit
S.V <==> S "suivi de" V.
Maintenant M possède une opération '.' on va écrire (M,.) avec son opération au lieu de M tout court.
Résumons:
M = l'ensemble des formules, muni l'opération '.' ça donne (M,.)
Remarque: Mais on est très paresseux !! au lieu d'écrire S.V on écrit SV c'est plus vite et on gagne un caractère à tapper !!!
Voyons les propriétés de l'opération '.' de M:
1. On part d'une formule S on fait "suivi de" V une autre formule , c'est-à-dire S.V on tombe sur une formule !!!! c'est claire
S∈M, V∈M ==> SV∈M on dit que la loi '.' ou l'opération '.' est interne
2. La formule spésiale I est dans M , I∈M on nomme cette formule l'élément neutre de M , de la loi '.'
3. Pour chaque formule S∈M on a un inverse S'∈M . par exp: S=AHD'G, ==> S'=G'DH'A'
On a évidemment SS' = S'S = I (on revient à l'état début, c'est comme si on a rien fait)
4. Et la dernière propriété (moins évident)
(SV)T = S(VT) on dit que la loi '.' est associative
Et voilà 4 propriété de '.' à savoir: interne, élément neutre, inverse, associative. ==> (M,.) = un groupe
et c'est tout pour aujourd'hui .
