Suites récurrentes
Publié : Dim 23/06/2024 16:46
par Morphocode
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Soit :
un+1 = 2un + 1 (suivant = 2 fois avant +1 )
on a donc une suite récurrente, pour trouver un en fonction de n on pose:
vn = un + 1
d'où
vn+1 = un+1 + 1 = 2un + 1 + 1
vn+1 = 2un + 2 = 2( un + 1) = 2vn
C'est une suite géométrique de raison 2, d'où
vn = = 2n v0
or vn = un + 1
d'où
un = 2n v0 - 1
or v0 = u0 + 1 = 1+1 = 2
un = 2n+1 - 1
On voit que un augmente très très vite ! ,
REMARQUE :
Pour les suites récurrentes de la forme :
un+1 = aun + b ; a ≠ 0,1 et b ≠ 0
on utilise la stratégie suivante :
on essaie de trouver une suite géométrique vn de raison a qui relie à la suite un le plus simple possible. On pose:
vn = un + c
on cherche donc c
vn+1 = un+1 + c = aun + b + c
vn+1 = avn
a(un + c) = aun + b + c
aun + ac = aun + b + c
d'où
ac = b + c
c = b/(a-1)
d'où
vn = un + b/(a-1)
Une fois trouvé vn, on trouve alors un
vn = anv0
un = anv0 - b/(a-1)
et
v0 = u0 + b/(a-1)
un+1 = 2un + 1 (suivant = 2 fois avant +1 )
on a donc une suite récurrente, pour trouver un en fonction de n on pose:
vn = un + 1
d'où
vn+1 = un+1 + 1 = 2un + 1 + 1
vn+1 = 2un + 2 = 2( un + 1) = 2vn
C'est une suite géométrique de raison 2, d'où
vn = = 2n v0
or vn = un + 1
d'où
un = 2n v0 - 1
or v0 = u0 + 1 = 1+1 = 2
un = 2n+1 - 1
On voit que un augmente très très vite ! ,
REMARQUE :
Pour les suites récurrentes de la forme :
un+1 = aun + b ; a ≠ 0,1 et b ≠ 0
on utilise la stratégie suivante :
on essaie de trouver une suite géométrique vn de raison a qui relie à la suite un le plus simple possible. On pose:
vn = un + c
on cherche donc c
vn+1 = un+1 + c = aun + b + c
vn+1 = avn
a(un + c) = aun + b + c
aun + ac = aun + b + c
d'où
ac = b + c
c = b/(a-1)
d'où
vn = un + b/(a-1)
Une fois trouvé vn, on trouve alors un
vn = anv0
un = anv0 - b/(a-1)
et
v0 = u0 + b/(a-1)