La face cachée du Rubik's Cube

24 Feb 2017

Structure mathématique du Rubik's Cube G c'est l'ensemble des états produits par les rotations {H,B,A,P,G,D} , munie d'une loi (assez étrange d'ailleurs !) a une structure de groupe . Le groupe du Rubik's Cube, ce groupe a des propriétés vraiment étonnantes ...

orbite

Si vous jouez l'Helicopter ou récemment Curvy Copter vous savez en gros ce que c'est une "orbite". Dans l'Helicopter, il y a 4 orbites pour les centres, chaqu'orbite contient 6 centres et les rotations de l'Helicopter déplacent ces centres dans leur orbite.

En Rubik's Cube vous avez aussi les orbites !! mais il est assez rare et peu d'articles en parlent sur ce sujet

Commençons par quelques observations
Voici deux états du Cube: l'état r1=e (formule I) c'est l'état résolu , l'état r7 (rotation étendue Γ) on a enlevé (HA), pivotée puis la remet

Prenons l'état r1, à partir de cette état on mélange le Cube avec les 6 rotations de base {H,B,A,P,G,D} on obtient un nouveau état disons s, l'ensemble de tous les états formés à partir de r1, forme ce qu'on appelle orbite G1 (il y a 43252003... états dans cette orbite)
On fait de même pour état r7, à partir de cette état on mélange le Cube avec les 6 rotations de base {H,B,A,P,G,D} on obtient un nouveau état disons t, l'ensemble de tous les états formés à partir de r7, forme ce qu'on appelle orbite G7 (il y a aussi 43252003... états dans cette orbite)

l'état r1 = résolu l'état r7


On peut toujours passer d'un état à un autre dans la même orbite, mais on ne peut pas passer 2 états dans des différentes orbites, on peut passer de s à r1 et de t à r7 mais pas de s à t .
Par exp l'état w est dans la orbite 1 car on peut passer de w à r1

l'état r1 l'état w est dans la orbite G1

La question vient naturellement à l'esprit c'est combien de orbites en a -t- on ?
La réponse se trouve dans les 3 lois fondamentales du Rubik's Cube, on sait qu'on ne peut pas passer d'une orbite à une autre comme par exp on ne peut pas passer l'état r7 à l'état r1, donc il suffit de violer les lois du Rubik's Cube pour trouver les orbites!!

On note rftp l'état ou la orbite (ftp) f=flip, t=twist, p=parité
r111 signifie:
1. On enlève l'arête (HA), pivote puis la remet ; (f=1)
2. On enlève le sommet (HDA), pivote 1/3 tour dans le sens horaire puis le remet ; (t=1)
3. On enlève (HA) et (HG), permute puis les remet ; (p=1)

l'arbre des orbites

1. Violer la loi des flips: Somme des flips = impair

l'état r7 (rotation étendue Γ)

2. Violer la loi des twists: Somme des twists = 1,2 (mod 3)

l'état r3 (rotation étendue Ψ) l'état r5 (rotation étendue Ψ²)

3. Violer la loi de parité: signature(sommets) ≠ signature(arêtes)

l'état r2 (rotation étendue Ω)
A partir de ces états on fait des combinaisons et on trouve exactement 12 orbites pour le Rubik's Cube.

l'état r1 = résolu
orbite G1
l'état r2
orbite G2

l'état r3
orbite G3
l'état r4
orbite G4


l'état r5
orbite G5
l'état r6
orbite G6

l'état r7
orbite G7
l'état r8
orbite G8

l'état r9
orbite G9
l'état r10
orbite G10

l'état r11
orbite G11
l'état r12
orbite G12

Un rappel sur l'action d'un groupe

Une action '•' (à droite) est une loi externe de X x G -> X vérifiant 2 propriétés:
X x G -> X
(x,g) -> x•g = x'
1. x•e = x (e=élémentre neutre de G)
2. (x•g)•h = x•(gh)

Trois définitions importantes
1. orbite : soit a∈X un élément de X
Xa = { x∈X / a•g = x} les x qu'on peut atteindre (à partir de a) par les éléments de G, Xa⊂X
2. Points fixes de g : soit g∈G un élément de G
Fg = { x∈X / x•g = x} les points fixes de g , Fg⊂X
3. Stabilisateur : soit a∈X un élément de X
Ga = { g∈G / a•g = a} les g qui ne bougent pas a, trop "faible" pour a ;Ga=les faibles de a , Ga⊂G ; Ga est un sous-groupe mais pas forcement normal

Deux formules
1. |Xa| = |G\Ga| = |G|/|Ga|
2. w = 1/|G| . ∑g |Fg|
w = le nombre d'orbites

M+ agit sur G+ (G+•M+)

e∈G+ (e=résolu)
|Xe| = |G\Ge| (=nombre de classes)
Ge+ = { x∈G+ / e•F=x } = G+
|G+| = |M+\M+e| = |M+|/|M+e|
M+e = {F∈M+ tels que e•F = e } = {I}
|G+| = |M+|

w = 1/|G| . ∑g |Fg|
g∈M+
w = 1/|M+| . ∑g |Fg|
FI = { x∈G+ / x•I = x} = G+ (tous les autres g n'ont pas de points fixes)
w = 1/|M+| . |G+|
w = 1

On peut prendre
M agit sur G (G•M)
et on trouve
|G| = |M|
w = 1

On va montrer |G+| = 12|G|
On va définir une relation d'équivalente suivant:
x,y ∈G+, x~y ⇔ ∃F∈M tel que x•F=y
'~' est visiblement une relation d'équivalente
on a 12 classes cl(rk) k=1,2,..,12 et comme chaque classe possède le même nombre d'éléments |G| d'où
|G+| = 12|G|

On peut prendre
M agit sur G+ (G+•M)
g∈M
w = 1/|M| . ∑g |Fg|
pour g=I
FI = { x∈G+ / x•I = x} = G+ (tous les autres g n'ont pas de points fixes, g≠I, Fg=∅)
w = 1/|M| . |G+| = = 12|G|/|M|
w = 12

NOTE: Suivant l'action on trouve le nombre des orbites différents:
M+ agit sur G+ ⇒ 1 orbite
M agit sur G ⇒ 1 orbite
M agit sur G+ ⇒ 12 orbites

G+ possède 12 orbites de la même taille (G+•M)

on a
M+ = < H,B,A,P,G,D,Γ,Ψ,Ω >
M = < H,B,A,P,G,D >
|M+| = |G+|
|M| = |M+|/12
|M| = |G|
|G| = |G+|/12


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