La face cachée du Rubik's Cube

01 Feb 2017

Structure mathématique du Rubik's Cube G c'est l'ensemble des états produits par les rotations {H,B,A,P,G,D} , munie d'une loi (assez étrange d'ailleurs !) a une structure de groupe . Le groupe du Rubik's Cube, ce groupe a des propriétés vraiment étonnantes ...

Groupe simple à 168 éléments : GS168

On sait qu'il existe un seul groupe simple (non trivial=non commutatif=non Zp) à 168 éléments. C'est le deuxième dans son genre, après le groupe alterné A5. Le GS168 est vraiment extraordinaire car on le trouve pratiquement partout .....

- La quartique de Klein:
E: x3y + y3z + z3x = 0 Le groupe des automorphismes qui laissent invariant E est GS168
Aut-inv(E) = GS168

- L'équation de degré 7:
P(x) = x7 - 7x + 3 = 0 Le groupe de Galois de P, est GS168
Gal(P) = GS168

- Dans A7:
a=(124)(346) ; b=(17)(26)
< a,b > = GS168

- Goupe des matrices:
GL3 (F2)= GS168

- Projective:
PSL2 (F7)= GS168

et ... et .... vous avez deviné ... il se trouve aussi dans le Rubik's Cube !!!!!

Considèrons le sous groupe suivant < XY-1 > de M , engendré par les mouvements de la forme: XY-1 avec X,Y ∈ {H,B,A,P,G,D}. Ce goupe gènère le goupe des sommets < XY-1 >s sous groupe de S8, par exemple les 3 mouvements suivants BD-1AG-1 , AB-1GP-1 , HA-1HA-1 gènèrent 3 éléments de < XY-1 >s . Avec le programme GAP ( .::download GAP ici::. ), l'ordinateur calcule le cardinal de ce groupe et nous founit un joli nombre:
|< XY-1 >s| = 168 éléments

Comme dans le chapitre précédent, la droite projective de F7 est définie par:
P1(F7) = { 0,1,2,3,4,5,6,∞ } en plus les opérations dans F7 on ajoute comme d'habitude les deux opérations suivantes:

On peut dresser les tables '+' et 'X' de P1(F7) comme ça les opérations serons plus claires

addition
multiplication


On sait que (HAG)=∞ et (HPD)=0 , plaçons maintenant les éléments de P1(F7) sur les sommets de Rubik's Cube de façon suivante:
A→(∞,1,3,5) et P→(0,6,2,4) permutation associées
comme la fig ci-desous

On définit ensuite 3 fonctions suivantes sur P1(F7)
f : P1(F7) → P1(F7)
f(x) = 2x
g : P1(F7) → P1(F7)
g(x) = 2x + 1
et
h : P1(F7) → P1(F7)

calculons les valeurs des ces fonctions (n'oubliez pas qu'on est dans P1(F7) )
x     = 0, 1, 2, 3 ,4, 5, 6, ∞
f(x) = 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5, ∞

x     = 0, 1, 2, 3 ,4, 5, 6, ∞
g(x) = 1, 3, 5, 0, 2, 4, 6, ∞

x     = 0, 1, 2, 3 ,4, 5, 6, ∞
= ∞, -1, -1/2, -1/3, -1/4, -1/5, -1/6, 0
= ∞, 6, -4, -5, -2, -3, -6, 0
h(x) = ∞, 6, 3, 2, 5, 4, 1, 0

Prennons les 3 mouvements suivants:
AB-1GA-1 → m permutation associée
x = 0, 1, 2, 3 ,4, 5, 6, ∞
A = 0, 3, 2, 5, 4, ∞, 6, 1
AB-1 = 0, 5, 4, 2, 3, ∞, 6, 1
AB-1G = 0, 2, 4, 6, 3, 5, ∞, 1
AB-1GA-1 = 0, 2, 4, 6, 1, 3, 5, ∞ → m=(1,2,4)(3,6,5)

BD-1 → n
x = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ∞
B = 0, 1, 5, 4, 2, 3, 6, ∞
BD-1 = 1, 3, 5, 0, 2, 4, 6, ∞ → n=(0,1,3)(2,5,4)

BH-1BH-1 → q
x = 0, 1, 2, 3 ,4, 5, 6, ∞
BH-1BH-1 = ∞, 6, 3, 2, 5, 4, 1, 0 → q=(0,∞)(1,6)(2,3)(4,5)

m fait exactement la même chose que f(x), de même pour g(x)⇔n, h(x)⇔q

Les 3 fonctions ci-dessus fournissent les 3 matrices de déterminant=1 à coefficiences dans F7
dét(W) = 50 = 1 (mod 7)
dét(S) = 50 = 1 (mod 7)
dét(T)=1

1. Formule Q ordonne à q (permutation) de bouger les éléments de P1(F7)
2. Matrice T ordonne à h(x) (fonction) de bouger les éléments de P1(F7)


On démontre que m,n,q engendrent < XY-1 >s et W,S,T engendrent PSL2(F7)
on définit maintenant la fonction z:
z : < XY-1 >s    →    PSL2(F7)
de façon suivate:
z(m)=W , z(n)=S et z(q)=T
si c'est m, je dis que ça vaut W, si c'est n, je dis que ça vaut S, ....
d'où
u=mnq → z(u)=WST

a). Montrons d'abord que c'est bien un homomorphisme
En effet un élémént de < XY-1 >s s'écrit comme un produit des m,n,q par exemple
v = m²qn3 et par défitition on a
z(m²qn3) = W²TS3 qui vaut
= z(m)²z(q)z(n)3 = c'est bien un homomorphisme

b). z est évidement surjectif : en effet, un élémént de PSL2(F7) s'écrit comme un produit des W,S,T par exemple
K = T²W²S4 = z(q)²z(m)²z(n)4 = z(q²m²n4)

mais |PSL2(F7)| = 7(7²-1)/pgcd(2,7-1) = 168
|< XY-1 >s| = |PSL2(F7)| , donc z est bijectif !!!! on a bien un bel isomorphisme entre
< XY-1 >s et PSL2(F7)

< XY-1 >s   =   PSL2(F7)   =   GS168



Remarque, on peut démontrer que < XY-1 >a   =   A12

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