La face cachée du Rubik's Cube

02 Feb 2017

Structure mathématique du Rubik's Cube G c'est l'ensemble des états produits par les rotations {H,B,A,P,G,D} , munie d'une loi (assez étrange d'ailleurs !) a une structure de groupe . Le groupe du Rubik's Cube, ce groupe a des propriétés vraiment étonnantes ...

Droite projective et action ...

On rappelle que la droite projective de F5 est:
P1(F5) = { 0,1,2,3,4,∞ } en plus les opérations dans F5 on ajoute les opérations suivantes:

ou encore 0 x ∞ = ∞ x 0 = 1 et on peut dresser les tables '+' et 'X' de P1(F5)

addition multiplication

On définit alors 2 fonctions suivantes sur P1(F5)
f : P1(F5) → P1(F5)

g : P1(F5) → P1(F5)
g(x) = 3x + 3
et
calculons les valeurs des ces fonctions (n'oubliez pas qu'on est dans P1(F5))

f(0) = 4
f(1) = 0
f(2) = 6/3 = 2
f(3) = 7/4 = 2/4 = 1/2 = 3 (2.3=6=1 (mod 5) , donc 3 est l'invers de 2)
(4) = 8/5 = 3/0 = ∞


x =     0, 1, 2, 3, 4, ∞
f(x) = 4, 0, 2, 3, ∞, 1
et
g(0) = 3
g(1) = 3+3 = 6 = 1 (mod 5) , on est dans P1(F5)
g(2) = 4 (6+3=9=4 (mod 5)
g(3) = 2
g(4) = 0
g(∞) = ∞
x =     0, 1, 2, 3, 4, ∞
g(x) = 3, 1, 4, 2, 0, ∞

On associe f(x) comme la rotation H et g(x) à la rotation D et voyons comment placer les éléments de P1(F5) sur le cube.
On a f(2)=2, f(3)=3 ça signifie que 2,3 ne sont pas perturbés par la rotation H, donc ils sont sur Bas-Droite
On a g(1)=1, g(∞) = ∞ ça signifie que 1,∞ ne sont pas perturbés par la rotation D, donc ils sont sur Haut-Gauche
Donc 0, et 4 sur Haut-Droite.
* 1,∞ sur Haut-Gauche et f(∞) = 1 ⇒ (HAG)=∞ ⇒ (HPG)=1
* 0,4 sur Haut-Droite et f(1) = 0 ⇒ (HPD)=0 ⇒ (HAD)=4
* 2,3 sur Bas-Droite et g(0) = 3 ⇒ (BPD)=3 ⇒ (BAD)=2

Ainsi les éléments de P1(F5) sont sur les sommets comme indique la fig ci-desous


Observons bien, f(x) agit exactement comme la rotation H agit sur les sommets du Rubik's Cube !!! g(x) aussi , elle agit exactement comme la rotation D agit sur les sommets !!! ce n'est pas merveilleur ça ? on peut regarder l'effet de H et D sur les sommets comme des fonctions homographiques sur P1(F5) ou des matrices !!!


D → g(x) = 3x + 3

p=(∞,1,0,4) permutation associé au rotation H
q=(0,3,2,4) permutation associé au rotation D
comment pourrait-on soupçonner que l'emplacement (HAG) représente ∞ : (HAG) = ∞ et (HPD)=0 !!!
Il y a encore quelque chose d'étrange .... voyons
Soit

et son centre


PGL2(F5) = GL2(F5)/Z(GL2(F5))
En gros, ça signifie, dans GL2(F5) on a comprimé le centre en un point!

celà veut dire aussi qu'on considère les multiples (par un scalaire k≠0) sont les même:



comme pour les fractions on a 1/7 = 2/14 = 3/21 ...
puis

et son centre


PSL2(F5) = SL2(F5)/Z(SL2(F5))

Rappel







Soit K un sous groupe de M, les mouvements gènèrent des permutations sur les sommets et les arêtes, K gènère donc en deux sous groupes: un sous groupe de S8 (pour les sommets) qu'on va noter Ks , et un sous groupe de S12 (pour les arêtes ) qu'on notera Ka.
Considèrons maintenant le sous-groupe < H,D > de M, engendé par les rotations H et D. Le but de ce paragrhaphe est de démontrer que
< H,D >s = PGL2(F5) (D. Singmaster)
< H,D >a = S7 (D. Singmaster)

1. Formule H ordonne à p (permutation) de bouger les éléments de P1(F5)
2. Matrice T ordonne à f(x) (fonction) de bouger les éléments de P1(F5)


Lorsqu'on fait une rotation H ou D , on permute les sommets (par p et q) comme les fonctions f(x) et g(x) agissent sur les sommets , Mais les fonctions f(x) et g(x) ne sont rien d'autres que les matrices T et Q. On a donc:
< H,D >s = < p,q > = < T,Q >

Quelques rappels
On sait que:
1.|PGL2(F5)| = 5(5²-1) = 120 et |PSL2(F5)| = 5(5²-1)/pgcd(2,5-1) = 60
2.PSL2(F5) est engengré par les matrices de transvections(°)
(°)NOTE: définition matrice de tranvection: c'est une matrice diagonale=1 et un seul a quelque part et 0 ailleurs


démontration:
I. < T,Q > ⊂ PGL2(F5) évident
II. PSL2(F5) ⊂ < T,Q >
Pour cela il suffit d'exprimer les matrices en fonction de T et Q
On rapelle que dans PGL2(F5) on a






ça y est on a gagné car les matrices s'expriment en fonctions de T et Q

III. On a : PSL2(F5) ⊂ < T,Q > ⊂ PGL2(F5)
on sait que entre PSL2(F5) et PGL2(F5) il n' a rien (car l'indice=2), donc soit < T,Q > = PGL2(F5) soit < T,Q > = PSL2(F5)
pour montrer que < T,Q > ≠ PSL2(F5) il suffit de trouver un élémént de < T,Q > et qui n'est pas dans PSL2(F5). Prenons T par exemple, on a dét(T) = 1-4 = -3 = 2 (mod 5)
et sous sa forme générale dét(T) = 2.k² ( on n'a pas simplifié la fraction f(x) par k)
si T ∈PSL2(F5) dét(T)=1 ⇒ 2.k² = 1 ⇒ k² = 1/2 = 3 (mod 5) imopssible, car les carrés dans F5 sont :
0² = 0 , 1²=1 , 2²=4 , 3²=9=4, 4²=16=1 (mod 5)
il n'y a pas de k2 qui vaut 3 dans F5, donc T n'est pas dans PSL2(F5) on a forcement
< T,Q > = PGL2(F5)

Et voila .....
< H,D >s = PGL2(F5) (D. Singmaster)


On a < H,D >a ⊂ S7 , pour montrer < H,D >a = S7 , analysons un peu la situation :
* Les sommets et les arêtes sont en phase (loi de parité)
* H,D ne pivotent les arêtes, donc Z2 n'intervient pas,
* L'orientation des sommets est fixé dèsqu'il y a 5 sommets bien orientés (loi des twists).
* < H,D > = < H,D >a x PGL2(F5)/2 x 36/3

D'autre part le programme GAP ( .::download GAP ici::. ), nous donne le cardinal de
|< H,D >| = 73483200 finalement nous avons
|< H,D >a| = x
|PGL2(F5)| = 120

On divise par 2 (arêtes, sommets en phase) et 3 (loi des twists) .

( Rappelez vous pour |G|

on divise par 2 à cause de la loi sig(u)=sig(v)
on divise par 3 à cause de la loi ∑ yi = 0 (mod 3)
on divise par 2 à cause de la loi ∑ xi = 0 (mod 2) )

d'où
x = (73483200 x 6)/(120 x 729) = 5040 = 7! = |S7| d'où
< H,D >a = S7 (D. Singmaster)



on a donc:
< H,D > = S7 x PGL2(F5) x Z36 / (2x3) et on a bien

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