La face cachée du Rubik's Cube

24 Feb 2017

Structure mathématique du Rubik's Cube G c'est l'ensemble des états gènèrés par les rotations de base {H,B,A,P,G,D} , munie d'une loi (assez étrange d'ailleurs !) a une structure de groupe . Le groupe du Rubik's Cube, ce groupe a des propriétés vraiment étonnantes ...

Simple rappel

On rapplle que G+ = S12 x Z212 x S8 x Z38 est l'ensemble de tous les états du cube produits par des rotations de base {H,B,A,P,G,D} et étendues α, β, γ, δ (on démonte le Cube puis le remonte) , c'est le groupe étendu de G.

G ⊂ G+ avec
G = { (u,x,v,y)∈G+ tq ∑ xi = 0 (mod 2), ∑ yi = 0 (mod 3) , sig(u)=sig(v) }


On va définir une loi de G+ , voici l'opération dans G+:

s=(u,x,v,y) et s'=(u',x',v',y')
ss' = (u,x,v,y)(u',x',v',y') = (uu',x+u(x'),vv',y+v(y')) avec u(x) = (xu(1),xu(2),...,xu(12))

Le couple (u,x) ou (v,y) = (permutation,vecteur) que j'appelerai un "état" , le produit de 2 états est donc
(u,x)(u',x') = ( uu', x + u(x') )

et voilà !!!! ça a l'aire bizarre!! mais en fait c'est tout à fait logique de définir ainsi. On pense que c'est plus logique de définir la loi comme ça (u,x,v,y)(u',x',v',y')=(uu',x+x',vv',y+y') en fait non, car quand on fait une permutation u, on permute les arêtes mais on modifie aussi leur orientations !!! donc u doit intervenir dans la définition "x+x'" . Le fait de prendre u(x') parce que les lois d'orientation nous imposent voyons par ex pour A

En résumé: Un état-arête repésenté mathématiquement par (u,x) u=permutation et x=vecteur à 12 composantes à valeur {0,1} cad x=(0,0,1,0,1,0,...,1) par ex.
Le produit de 2 état-arête: (u,x)(u',x')=(uu',x+u(x')), même chose pour les état-sommet

Les arêtes et les sommets sont numérotés ainsi

examinons les arêtes
Soit f=(p,a) l'état-arête associé de la rotation A et s=(u,x)
permutation: p = 1->5->9->6
orientation: a = (1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0)
s'=fs
(u',x')=(p,a)(u,x)
fs = (p,a)(u,x) = (pu, a+p(x))
u'=pu
x' = a + p(x)

x'1 = 1+x5
x'2 = x2
x'3 = x3
x'4 = x4
x'5 = 1+x9
x'6 = 1+x1
x'7 = x7
x'8 = x8
x'9 = 1+x6
x'10 = x10
x'11 = x11
x'12 = x12

On retrouve bien la loi d'orientation pour les arêtes

examinons maintenant les sommets
Soit g=(q,b) l'état-sommet associé de la rotation A et t=(v,y)
permutation: q = 1->5->6->2
orientation: b = (2,1,0,0,1,2,0,0)

t'=gt
(v',y')=(q,b)(v,y)
gt = (q,b)(v,y) = (qv, b+q(y))
v'=qv
y' = b + q(y)

y'1 = 2+y5
y'2 = 1+y1
y'3 = y3
y'4 = y4
y'5 = 1+y6
y'6 = 2+y2
y'7 = y7
y'8 = y8



Ici on retrouve aussi la loi d'orientation pour les sommets.

Et voilà, on peut maintenant considèrer que G est un sous-groupe de G+.

Le centre de G: Z(G)

Le centre de G est des s' tels que ss'=s's pour tout s, on cherche donc s' qui a ainsi cette propriété. Voyons donc un peu ce qui donne:

(u,x,v,y)(u',x',v',y') = (u',x',v',y')(u,x,v,y)
(uu',x+u(x'),vv',y+v(y')) = (u'u,x'+u'(x),v'v,y'+v'(y))
d'où:
uu' = u'u ∀u ⇒ dans S12 le seul élément qui commute avec tout le monde c'est u' = 1 = id (identité)

x + u(x') = x' + u'(x)
x - u'(x) = x' - u(x') comme c'est vrai pour tout x, on prend x=(0,0,...,0) d'où
x' = u(x') pour tout u, donc x'=(0,0,...,0) ou x'=(1,1,...,1) (on n'a pas d'autre choix pour x')

on fait exactement le même raisonnement pour v et y d'où
vv' = v'v ∀v ⇒ dans S8 le seul élément qui commute avec tout le monde c'est v' = 1 = id(identité)
y - v'(y) = y' - v(y') comme c'est vrai pour tout y, on prend y=(0,0,...,0) d'où
y' = v(y') pour tout v donc y'=(0,0,...,0) ou y'=(1,1,...,1) ou encore y'=(2,2,...,2) (on n'a pas d'autre choix pour y')

mais on doit avoir
∑ x'i = 0 (mod 2) ⇒ x'=(0,0,...,0) ou x'=(1,1,...,1) car 12=0 (mod 2)
et
∑ y'i = 0 (mod 3) ⇒ seul y'=(0,0,...,0) convient
car y=(1,1,...,1) ⇒ 8=2(mod 3) et y=(2,2,...,2) ⇒ 16=1(mod 3) ne conviennent pas
finalement on a 2 solutions:
x'=(0,0,...,0), y'=(0,0,...,0) ou x'=(1,1,...,1), y'=(0,0,...,0) c-à-d
s'=(1,0,1,0)=1 élément neutre du groupe, et s'=(1,1,1,0)=Φ super flip (tout reste invariant, seules les arêtes changent de l'orientation)
Z(G) = {1,Φ} il n'y a que 2 éléments, en fait un seul élément Φ car l'identité 1 c'est évident qu'il est dans le centre.
et umumummuumbalallala et hop !!!!

Φ = D'H²PG' .AH'PBA .HB'GB² .A'DP'BA' .H'P'HB' (Mike Reid par ordinateur)

Note:
En 1992 Dik T. Winter a trouvé le super flip Φ à 20
Φ = APH²DA².D²P²H'BA.H²D'G'HP².BD²HP²H
|Φ|f = 20 = |Φ| = 20f
et (1995) Michael Reid démontre c'est le minimum pour la métrique face-rotation (A²=1)

Michael Reid a trouvé (1995) Φ par ordinateur
Φ = D'H²PG' .AH'PBA .HB'GB² .A'DP'BA' .H'P'HB'
et Jerry Bryan (1995) démontre que c'est la plus courte formule du super flip |Φ| = 24 pour la métrique quart-rotation (A²=2)

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DMJ: 24/02/2017









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