La face cachée du Rubik's Cube

02 Feb 2017

Structure mathématique du Rubik's Cube G c'est l'ensemble des états produits par les rotations {H,B,A,P,G,D} , munie d'une loi (assez étrange d'ailleurs !) a une structure de groupe . Le groupe du Rubik's Cube, ce groupe a des propriétés vraiment étonnantes ...

Le nombre d'états possibles

La première idée est se demander combien y-a-t-il d'éléments dans G ?, c-à-d combien y-a-t-il d'états possibles?
Avec les 3 loi qu'on vient de découvrir, on peut alors répondre à cette question:
1. La loi des twists dit ∑ yi = 0 (mod 3) donc si 7 sommets sont bien orientés alors le 8ème aussi, sinon on aura ∑ yi = 1 ou 2 (mod 3) donc on n'a besoin que Z37 au lieu de Z38
2. Même choses pour les arêtes, la loi des flips dit que ∑ xi = 0 (mod 2) donc si 11 arêtes sont bien orientées alors la 12ème aussi, sinon on aura ∑ xi = 1 (mod 2) donc on n'a besoin que Z211 au lieu de Z212
finalement G est contenu dans
G ⊂ S12 x Z211 x S8 x Z37

3. La loi de parité dit s=(u,x,v,y) avec sig(u)=sig(v)
posons:
K=S12 x Z211 x S8 x Z37
et considèrons la fonction suivante:
f: K → {-1,1}
s=(u,x,v,y) → f(s) = sig(u).sig(v)
|K| / |Ker(f)| = |Im(f)|
or sig(u) = sig(v) ⇒ f(s)=1 ⇒ Ker(f) = G
d'où
|G| = |K|/2 = 12!.211.8!.37/2 et ummuumumbalalala ....et hup !!!


NOTE : On a |G| - 1 = 43252003274489856000 - 1 = 43252003274489855999 est un nombre premier !!!, il est vraiment remarquable que |G| - 1 est premier car plus un nombre est grand moins il a de chance d'être premier !

Le GAP
Télécharger le GAP .::ICI::. https://www.gap-system.org/Releases/index.html
Dans la fenêtre de cmd on se place dans le dossier de GAP
C:\Users\nom> cd\gap4r7\bin
C:\gap4r7\bin>gap
gap>
Ici on colle le text gap_rubikcube.txt

gap_rubikcube.txt:
pH := (19,35,27,43)(41,17,33,25)(8,6,1,3)(18,34,26,42)(7,4,2,5);
pB := (22,46,30,38)(40,24,48,32)(9,11,16,14)(23,47,31,39)(10,13,15,12);
pA := (6,41,11,40)(35,8,46,9)(17,19,24,22)(7,44,10,37)(18,21,23,20);
pP := (3,33,14,48)(43,1,38,16)(25,27,32,30)(2,36,15,45)(26,29,31,28);
pG := (6,22,14,27)(17,9,32,1)(35,40,38,33)(4,20,12,29)(34,37,39,36);
pD := (8,25,16,24)(19,3,30,11)(41,43,48,46)(5,28,13,21)(42,45,47,44);
pGamma := (7,18);
pPsi := (8,41,19);
pOmega := (7,4)(18,34);
pph := (21,37,29,45)(44,20,36,28);
ppd := (7,26,15,23)(18,2,31,10);
ppa := (4,42,13,39)(34,5,47,12);
rubikplus := Group( pH, pB, pA, pP, pG, pD, pGamma, pPsi, pOmega );
Srubikplus := Size( rubikplus );
rubik := Group( pH, pB, pA, pP, pG, pD );
Srubik := Size( rubik );
indice := Srubikplus / Srubik ;

Le GAP nous donne bien
|G| = 43 252 003 274 489 856 000
|G+| = 519 024 039 293 878 272 000
|G+|/|G| = 12

Les facteurs de Jordan-Holder de G

Rappel: On dit qu'un groupe H est simple s'il ne possède pas des sous-groupes nornaux (autre que 1 et H bien sûr). G n'est pas 'simple' du tout !!!!
Un groupe qui n'est pas simple est "fabriqué" en quelque sort, par des groupes simples!! comme un nombre est composé par des nombres premiers.
Précisons un peu plus:
Soit H un groupe non simple, alors il existe une suite (appellée de décomposition) de sous groupes
H0=1 ⊂ H1 ⊂ H2 ... ⊂ Hn = H avec Hk-1 normal dans Hk , tel que
1. Hk / Hk-1 = Lk simple

Remarque:
- Hk-1 doit être normal dans Hk, sinon on ne peut pas "diviser" les groupes !!!
- La condition: Lk est simple <==> Hk-1 est maximal

Les Lk sont des facteurs Jordan-Holder de H, qu'on notera JH(H)=L1.L2....
Note Le théorème de Jordan-Holder dit que toute suite de décomposition ayant la propriété 1. ci-dessus donne les même Lk, ce qui fait que H ne dépend pas des suites de décomposition mais seulement les Lk, les Lk sont donc les caractéristiques de H.
Exemple de groupes simples:
1. Groupe modulo: Zp (p=premier) simple; en particulier Z2,Z3
2. Groupe Alterné: An (n>4) simple
et d'autres ....

Remarque
1. Si G1,G2 sont simples alors ===> on a : JH(G1 x G2)=G1.G2
2. JH(G) = JH(Ker(f)) . JH(Im(f)) où f est un morphisme

On a posé:
K=S12 x Z211 x S8 x Z37 mais on peut regrouper autrement par exemple
=(S12 x S8) x (Z211 x Z37) si on considère le morphisme g
g: S12 x S8 -> {-1,1}
(u,v) ----> g(u,v)=sig(u).sig(v) on voit que
G = Ker(g) x Z211 x Z37 et si on considère encore une autre morphisme h
h: T -> {-1,1} avec T=Ker(g)
(u,v) ---> h(u,v) = sig(u) d'ou Ker(h)=A12 x A8 finalement
T/Ker(h) = Z2 ===> Ker(g)/(A12 x A8) = Z2 on a alors une suite JH de Keg(g)
1 ⊂ A12 ⊂ A12 x A8 ⊂ Ker(g)
D'où les facteurs JH de Ker(g) est
JH(T)=A12.A8.Z2 (on peut dire aussi: JH(T) = JH(Ker(h)).JH(Im(h)) )
et finalement les facteurs JH de G vaut

JH(G)=A12.A8.Z212.Z37 (G est fabiqué à partir de A12.A8.Z212.Z37)
d'où:
|G| = (12! . 8! . 212 . 37)/4 = 43 252 003 274 489 856 000 = 227 314 53 72 11



Résumons:
1. Définition de G: G=l'ensemble des états produits par les rotations {H,B,A,P,G,D}.

2. G ⊂ S12 x Z212 x S8 x Z38
(u,x,v,y) vérifiant
a. ∑ xi = 0 (mod 2)
b. ∑ yi = 0 (mod 3)
c. sig(u)=sig(v)

3. G = Ker(g) x Z211 x Z37
où g: S12 x S8 -> {-1,1}
(u,v) → g(u,v)=sig(u).sig(v)

4. Les facteurs de Jordan-Holder: JH(G)=A12.A8.Z212.Z37

5.

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