La face cachée du Rubik's Cube

27 Feb 2017

Structure mathématique du Rubik's Cube G c'est l'ensemble des états produits par les formules , munie de lois assez étranges structurés dans un groupe: Le groupe du Rubik's Cube ! Ce groupe a des propriétés vraiment étonnantes ...

La parité, la signature

Commençons par voir ce que c'est un k-cycle: un k-cycle c'est un déplacement de k objets en cycle.
p = a->b = (a,b) = a<->b un 2-cycle (permuter a,b ; échanger a,b ; transposer a,b ....) longueur = 2 (nombre de lettres) . On dit aussi une transposition (a,b)
p = a->b->c = (a,b,c) un 3-cycle, longueur = 3 qui vaut aussi: (a,b,c)=(a,b)(a,c)
p = a->a = (a) = id=identité = 1-cycle , longueur = 1

On définit la signature d'un k-cycle par:
Si (k-1) est pair, la signature de ce k-cycle est pair , impair sinon
par ex
sig(4-cycle) = 4-1 = 3 = impair.
sig(3-cycle) = 3-1 = 2 = pair.
sig(2-cycle) = 2-1 = 1 = impair.
sig(1-cycle) = sig(id) = 1-1 = 0 = pair.
etc ....
Il est plus commode pour les calculs de poser pair=1 et impair=-1 on a donc
sig(k-cycle) = (-1)k-1

Il y a une autre façon de voir la signature. Soit p une permutation composée de t couples (a,b): si t est pair on dit que la permutation p est pair, impair sinon
par ex: p =(a,b)(a,d)(c,e) => 3 couples => sig(p)=impair=-1
p = (a,b)(c,d) => 2 couples => sig(p)=pair=1
donc
sig(p) = (-1)t ; t = nombre de couples à permuter

On a les propriétés suivantes:
I. sig(pq) = sig(p).sig(q)
II. On démontre que: toute permutation est décomposée en cycles disjoints (pas de lettre un commun)
ex: (a,b,c)(d,e)(f,g,h) disjoint
(a,c,b)(c,d) non-disjoint
III. On démontre que: toute permutation est décomposée en couples (pas forcement disjoints)
ex: (a,b,c,d)=(a,b)(a,c)(a,d)
(a,b,c) = (a,b)(a,c)

NOTE:
Par ex dans S8
Une permutation sera notée q=[2,3,1,4,7,6,8,5] ça signifie: q(1)=2, q(2)=3, q(3)=1, q(4)=4, q(5)=7, q(6)=6, q(7)=8, q(8)=5, il y a toujours 8 nombres
tandis que p=(3,1,2,4) est un cycle et on a: p(3)=1, p(1)=2, p(2)=4, et p(4)=3 .
en passant par la notation "permutation" on a
p=[2,4,1,3,5,6,7,8]

Orientation des arêtes

Poser votre Rubik's Cube sur une table de telle sorte qu'une de ses faces soit en face de vous, on fixe ainsi le Cube ou on oriente le Cube. Le Cube possède alors 6 faces nommées ainsi:
Haut, Bas, Avant, Postérieur, Gauche, Droite.

La couleur des faces dépend des Cubes achetés, des propriétaires !! car on peut changer les stickers à notre grés !. Donc pour nous la couleur des faces sont:
Haut=blanc, Bas=jaune, Avant=vert, Postérieur=bleu, Gauche=orange et Droite=rouge


- Un emplacement-arête porte un nom, le nom des faces qui les composent et notés entre parenthèses, par ex: (HA) = emplacement-arête Haut-Avant.
- Une arête (une pièce) porte un nom, le nom des couleurs qui les composent, par exp: (blanc,vert).

Un emplacement n'est jamais vide, il contient toujours quelque chose, c'est pourquoi
Par abuse de langage on dit l'arête (HA), au lieu de "l'arête contenu dans l'emplacement (HA)"

Lorsqu'on fait une opération sur un emplacement c'est en fait sur le contenue de l'emplacement qu'on fait.
Par exemple: (HA)° c'est le contenu de l'emplacement (HA) qui est pivoté, de même (HA)->(HP)->(HD) c'est le contenu de ces emplacements qui se déplace.

Résumons

(HA) = l'emplacement Haut-Avant , c'est un emplacement d'une arête
(blanc,vert) = c'est l' arête

Par analogie avec l'informatique
une variable c'est un emplacement: la variable nbr ⇔ l'emplacement (HA)
la variable nbr contient le nombre 3 ⇔ l'emplacement (HA) contient l'arête (jaune,bleu) par ex
nbr++ => le contenu de nbr augmente de 1 ⇔ (HA)° le contenu de (HA) est pivoté
nbr = x+y ⇔ (HA)->(HP)->(HD) le contenu est modifié

(HA) peut contenir (jaune,rouge) , (blanc,bleu) , ....

On a d'une part, des "trous-arêtes" (des emplacements) à 2 facettes marquées 0, 1 et d'autre part les arêtes (des pièces) ayant 2 couleurs dont l'une est dominante. Lorsqu'une arête se loge dans un trou-arête et que sa couleur dominante est sur 1 on dit que l'orientation de cette arête vaut 1, de même si sa couleur dominante est sur 0 son orientation vaut 0 on dit qu'elle est bien orientée.

Le marquage

Le marquage des facettes est 0, ou 1, car les arêtes n'ont que 2 possibilités pour pivoter
marquage horaire=(0,1): on marque 0 sur une facette, puis on marque 1 pour l'autre facette.

Donc pour chaque trou-arête (emplacement-arête) on n'a que 2 possiblilités : (0, 1), (1, 0)
Nous décidons de marquer notre Cube comme indique la fig ci-dessous: 0 sur H,B puis 0 sur A et P, ce marquage respecte l'ordre des faces
H ≤ B ≤ A ≤ P ≤ G ≤ D

Trous-arêtes avec les facettes marquées
0=bien orienté


Lorsqu'on écrit l'emplacement (AB) , on ne tient pas compte l'ordre des lettres
(AB) = (BA)
Mais si on tient compte des marquages on écrit d'abord H,B puis A,P
Voici les 12 écritures correctes des arêtes en tenant compte nos marquages.

L'ordre des faces: H ≤ B ≤ A ≤ P ≤ G ≤ D
(HA), (HG), (HP), (HD)
(AD), (AG), (PG), (PD)
(BA), (BG), (BP), (BD)

L'arbre de marquage des trous-arêtes

Il y a plusieur marquages possibles mais ils sont tous équivalants (dans le sens qu'ils donnent les même lois du Rubik's Cube) pour voir dessinons l'arbre de marquage des trous-arêtes. Lorsqu'on fait une rotation de base, il n'y a que 4 arêtes disons a->b->c->d qui se déplacent, l'arbre a donc 4 niveaux. comme chaque trou-arête a 2 possibilités et on a 4 niveaux donc l'arbre a 24 = 16 branches.

* = les couleurs dominantes (* placé sur 0)

Voyons sur un chemin de l'arbre
a=(*,1) -> b=(*,1) -> c=(*,1) -> d=(1,*) -> a=(*,1) => orientation = 2
on passe de a->b la couleur dominante '*' est sur 0 (sur '*')
on passe de b->c la couleur dominante '*' est sur 0
on passe de c->d la couleur dominante '*' est sur 1
on passe de d->a la couleur dominante '*' est sur 1
total = 2

a=(*,1) -> b=(1,*) -> c=(1,*) -> d=(1,*) -> a=(*,1) => orientation = 2
on passe de a->b la couleur dominante '*' est sur 1 (sur '*')
on passe de b->c la couleur dominante '*' est sur 0
on passe de c->d la couleur dominante '*' est sur 0
on passe de d->a la couleur dominante '*' est sur 1
total = 2
etc ...

De même on va calculer le nombre total des marquages possibles n. l'arbre a 16 branches, il faut choisir 3 branches (3x4=12 arêtes) parmi 16
n = (16 3) = 16x15x14/3! = 560

L'arbre de marquage nous montre qu'une rotation de base, apporte 0 ou 2 ou 4 au nombre de flips

La couleur dominante

On va numéroter les arêtes comme indique la fig ci-dessous
x1=(blanc,vert), x2=(blanc,orange), x3=(blanc,bleu), ....

Les arêtess numérotés: xi

Pour une arête, quelle est sa couleur dominate ? et pourquoi ?
Une fois le marquage est donné, à l'état résolu, la couleur dominante c'est la couleur qui est sur zéro 0. Parce que à l'état résolu tous les arêtes sont en bonne orientation

* = les couleurs dominantes (* placé sur 0)

Donc, pour les arêtes, les couleurs HBAP sont des couleurs dominantes.

voici les 12 arêtes xi avec leur couleur dominante en premier:
Couleurs dominantes : blanc > jaune > vert > bleu > orange > rouge

x1=(blanc,vert), x2=(blanc,orange), x3=(blanc,bleu), x4=(blanc,rouge),
x5=(vert,rouge), x6=(vert,orange), x7=(bleu,orange), x8=(bleu,rouge),
x9=(jaune,vert), x10=(jaune,orange), x11=(jaune,bleu), x12=(jaune,rouge).

Au départ les emplacements contiennent les xi comme suite:
(HA)=x1, (HG)=x2, (HP)=x3, (HD)=x4
(AD)=x5, (AG)=x6, (PG)=x7, (PD)=x8
(BA)=x9, (BG)=x10, (BP)=x11, (BD)=x12

Les arêtes xi se baladent de trou en trou pour se loger dans des trous-arêtes (HA), (HD)..., à chaque fois que la couleur dominante se trouve sur la facette marquée 1 sa orientation vaut 1 (1 flip), sinon elle vaut zéro (0=bien orienté), Par exemple l'arête vert-rouge=x5 se place en (HA) avec H=vert,A=rouge alors x5 vaut 0 (0 flip, bien orienté) car la couleur dominante (vert) est sur la facette marquée 0, De même, si l'arête blanc-bleu=x3 est dans (AD) avec A=bleu,D=blanc alors x3 = 1 (1 flip) car la couleur dominante blanc se trouve sur 1


Orientation des sommets

Rappel les notations

Avant tout rappelons les notations:
(HDA) = l'emplacement Haut-Droite-Avant , c'est un emplacement d'un sommet
(blanc,rouge,vert) = c'est un sommet
Par abuse de langage on dit le sommet (HDA) au lieu de "le sommet contenu dans l'emplacement (HDA)"

(HDA) peut contenir (jaune,vert,rouge) , (blanc,bleu,rouge) , ....

Ici on fait la même chose comme pour les arêtes, il y a des "trous-sommets" (des emplacements) à 3 facettes marquées 0, 1, 2 et d'autre part les sommets ayant 3 couleurs dont l'une est dominante. Lorsqu'un sommet se loge dans un trou-sommet et que sa couleur dominante est sur la facette marquée 2 on dit que l'orientation de ce sommet vaut 2, de même si sa couleur dominante est sur 1 son orientation vaut 1, sur 0 son orientation vaut 0 dans ce cas on dit que le sommet est bien orienté.


Le marquage

La grande question est : comment marquer ces facettes ??

Eh bien , examinons le problème de plus prés
Les sommets pivotent dans le sens horaire ou dans le sens contraire ce qui signifie que les étiquettes des sommets doient faire des cycles, par ex le sommet (blanc,rouge,vert) se place en (HDA) avec D=blanc alors on a nécessairement A=rouge et H=vert mais pas A=vert et H=rouge. Donc le marquage des facettes doit être "cyclique".

il n'y a que 2 types de marquage pour les trous-sommets
marquage dans le sens horaie (0,1,2): on marque 0 sur une facette, puis dans le sens horaire on marque 1 puis 2.
marquage anti-horaire (2,1,0): on marque 0 sur une facette, puis dans le sens anti-horaire (trigonométrie) on marque 1 puis 2.

Donc pour chaque trou-sommet on n'a que 3 possiblilités (pas 6) quelque soit le type de marquage:
dans le sens horaire: (0,1,2), (2,0,1), (1,2,0) .
dans le sens trigonométrie : (2,1,0), (1,0,2) ,(0,2,1).
Nous décidons de marquer notre Cube de façon suivant: 0 sur le Haut et le Bas puis dans le sens horaire 1, 2. C'est le marquage usuel.

Trous-sommets avec les facettes marquées dans le sens horaire
0 = bien orienté

Lorsqu'on écrit l'emplacement (ABD) on ne tient pas compte l'ordre des lettres
(ABD) = (ADB) = (DAB) = (DBA) = (BAD) = (BDA)
Mais si on tient compte des marquages on écrite les faces H, B en premier puis les autres dans l'ordre de marquage.
Voici les 8 écritures correctes des sommets en tenant compte nos marquages (on tourne le sommet dans les sens horaire).

(HDA), (HAG), (HGP), (HPD)
(BAD), (BGA), (BPG), (BDP)

L'arbre de marquage des trous-sommets

Il y a plusieurs marquages possibles, mais ils sont tous équivalents (dans le sens où ils donnent les même lois du Rubik's Cube) , pour voir , il suffit de dessiner les arbres de marquages.

I. On a 2 types de marquages: horaire=(0,1,2) et anti-horaire=(2,1,0), donc 2 arbres
II. Lorsqu'on fait une rotation de base, il n'y a que 4 sommets disons a->b->c->d qui se déplacent, donc chaqu' arbre a 4 niveaux.
III. Chaque trou-sommet a 3 possibilités et on a 4 niveaux, l'arbre a 34 = 81 branches
On va simplement dessiner une partie de l'arbre horaire.

* = les couleurs dominantes (* placé sur 0)

Voyons sur un chemin de l'arbre
a=(*,1,2) -> b=(*,1,2) -> c=(1,2,*) -> d=(2,*,1) -> a=(*,1,2) => orientation = 3
on passe de a->b la couleur dominante '*' est sur 0 (sur '*')
on passe de b->c la couleur dominante '*' est sur 1
on passe de c->d la couleur dominante '*' est sur 1
on passe de d->a la couleur dominante '*' est sur 1
total = 3

a=(1,2,*) -> b=(*,1,2) -> c=(2,*,1) -> d=(1,2,*) -> a=(1,2,*) => orientation = 6
on passe de a->b la couleur dominante '*' est sur 2
on passe de b->c la couleur dominante '*' est sur 2
on passe de c->d la couleur dominante '*' est sur 2
on passe de d->a la couleur dominante '*' est sur 0 (sur '*')
total = 6
etc ...

Il n'est pas difficile de calculer le nombre total des marquages possibles n. En effet un arbre a 81 branches, une branche représente le marquage de 4 trous-sommets comme on a 8 trous-sommets il nous faut 2 branches, càd il faut choisir 2 branches parmi 81, et on a 2 arbres donc
n = 2 x (81 2) = 81 x 80 = 6480

L'arbre de marquage des trous-sommets nous montre qu'une rotation de base, apporte 0 ou 3 ou 6 au nombre de twits

La couleur dominante

Pour ne pas alourdir les écritures on va numéroter les sommets comme indique la fig ci-dessous
y1=(blanc,rouge,vert), y2=(blanc,vert,orange), y3=(blanc,orange,bleu), ...

Les sommets numérotés: yi

Pour un sommet, quelle est sa couleur dominate ? et pourquoi ?
Pour savoir la couleur dominante d'un sommet c'est très simple une fois le marquage est donné. A l'état résolu, la couleur dominante c'est la couleur qui est sur zéro 0. Parce que à l'état résolu tous les sommets sont en bonne orientation

* = les couleurs dominantes (* placé sur 0)

Donc, pour les sommets, les couleurs Haut et Bas sont des couleurs dominantes (* placé sur 0)

Couleurs dominantes : blanc et jaune ;
voici les 8 sommets yi avec leur couleur dominante en premier:

y1=(blanc,rouge,vert), y2=(blanc,vert,orange), y3=(blanc,orange,bleu), y4=(blanc,bleu,rouge),
y5=(jaune,vert,rouge), y6=(jaune,orange,vert), y7=(jaune,bleu,orange), y8=(jaune,rouge,bleu).

Au départ les emplacements contiennent les yi comme suite:
(HDA)=y1, (HAG)=y2, (HGP)=y3, (HPD)=y4
(BAD)=y5, (BGA)=y6, (BPG)=y7, (BDP)=y8

Les sommets yi se baladent pour se placer dans les trous-sommets, à chaque fois que la couleur dominante se trouve sur la facette marquée 1 son orientation vaut 1 (1 twist) , sur 2 son orientation vaut 2 (2 twists) , sur 0 son orientation vaut zéro (0 twist, 0=bien orienté). Par exemple, le sommet y6=(jaune,orange,vert) se place en (HDA) avec H=orange, D=vert, A=jaune, alors y6 vaut 2 (2 twists) car la couleur dominante jaune est sur la facette 2, de même pour le sommet y1=(blanc,rouge,vert) dans (HAG) avec H=vert, A=blanc, G=rouge alors y1=1 (1 twist) car la couleur dominante blanc se trouve sur 1 .

Pour se souvenir les marquages, on utilise le principe dominant
Pour les arêtes :
L'ordre des faces : H ≤ B ≤A ≤ P ≤G ≤ D
L'ordre des couleurs : blanc > jaune > vert > bleu > orange > rouge
Pour les sommets :
L'ordre des faces : On tourne le sommet dans le sens horaire: (HDA), (HPD), ...
L'ordre des couleurs : blanc > jaune ....

Rappel les notations

(HA) = l'emplacement Haut-Avant , c'est un emplacement d'une arête
(blanc,vert) = c'est une arête

(HDA) = l'emplacement Haut-Droite-Avant , c'est un emplacement d'un sommet
(blanc,rouge,vert) = c'est un sommet

(HA) peut contenir (jaune,rouge) , (blanc,bleu) , ....
(HDA) peut contenir (jaune,vert,rouge) , (blanc,orange,bleu) , ....


La loi de composition de (G,.)

Comment a t-on trouvé la loi de composition '.' de G, (G,.) ? voyons voir:
I) Pour les arêtes : La rotation de base A gènère, pour les arêtes, une permutation p et une orientation a : A => (p,a).
D'après le marquage on a:
(HA)=(x1,x1+1), (AD)=(x5,x5+1), (BA)=(x9,x9+1), (AG)=(x6,x6+1)

Orientation des arêtes
Avant la rotation A Après la rotation A


x'1 = 1+x5
x'2 = x2
x'3 = x3
x'4 = x4
x'5 = 1+x9
x'6 = 1+x1
x'7 = x7
x'8 = x8
x'9 = 1+x6
x'10 = x10
x'11 = x11
x'12 = x12

ce qui donne:
Permutation: p = 1->5->9->6 = (1,5,9,6)
Orientation: a = (1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0) on a bien a = 0 (mod 2)
Remarque on a:
x' = a + p(x) ce qui suggère la loi dans (G, .)
(p,a)(u,x) = (pu,a+p(x))

II) Pour les sommets : De même une rotation de base gènère, pour les sommets, une permutation et une orientation par exemple A => (q,b) , le but est de calculer q et b
D'après le marquage on a:
(HAG)=(y2,y2+1,y2+2), (HDA)=(y1,y1+1,y1+2),
(BGA)=(y6,y6+1,y6+2), (BAD)=(y5,y5+1,y5+2).

Orientation des sommets
Avant la rotation A Apres la rotation A


y'1 = 2+y5
y'2 = 1+y1
y'3 = y3
y'4 = y4
y'5 = 1+y6
y'6 = 2+y2
y'7 = y7
y'8 = y8

ce qui donne:
Permutation: q = 1->5->6->2 = (1,5,6,2)
Orientation: b = (2,1,0,0,1,2,0,0) on a bien b = 0 (mod 3)

on a:
y' = b + q(y) ce qui suggère la loi dans (G, .)
(q,b)(v,y) = (qv, b+q(y))

Ainsi l'état associé de la rotation A est (p,a,q,b), vous pouvez calculer l'état associé des autres rotations de base D, G, H, ...

L'état associé aux rotations de base


Orientation Les arêtes, sommets numérotés


Pour les arêtes

H => (p,a)
p = (1,2,3,4)
a = (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)

B => (p,a)
p = (9,12,11,10)
a = (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)

A => (p,a)
p = (1,5,9,6)
a = (1,0,0,0,1,1,0,0,1,0,0,0)

P => (p,a)
p = (3,7,11,8)
a = (0,0,1,0,0,0,1,1,0,0,1,0)

G => (p,a)
p = (2,6,10,7)
a = (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)

D => (p,a)
p = (4,8,12,5)
a = (0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0)


Pour les sommets

H => (q,b)
q = (1,2,3,4)
b = (0,0,0,0,0,0,0,0)

B => (q,b)
q = (5,8,7,6)
b = (0,0,0,0,0,0,0,0)

A => (q,b)
q = (1,5,6,2)
b = (2,1,0,0,1,2,0,0)

P => (q,b)
q = (4,3,7,8)
b = (0,0,2,1,0,0,1,2)

G => (q,b)
q = (3,2,6,7)
b = (0,2,1,0,0,1,2,0)

D => (q,b)
q = (1,4,8,5)
b = (1,0,0,2,2,0,0,1)


Les 3 lois du Rubik's Cube

Le Rubik's Cube possède 3 lois: une sur les permutations et deux sur l'orientation.

1. Loi des flips: la somme des orientations des arêtes est un multiple de 2 (un nombre pair)

∑ xi = 0 (mod 2) ou en abrégé x = 0 (mod 2) avec x = (x1,x2,x3,...,x12)
on dit qu'il y a une conservation des flips .

Demontration1 :
On passe d'un état-arête (u,x) à l'autre (u',x') par une rotation de base X => (p,a)
On a
(u',x') = (u,x)(p,a)
D'où
x' = x + u(a)
d'autre part on a aussi
u(a) = 0 (mod 2)
car une rotation de base apporte un nombre d'orientations a = 0,2,4 (voir l'arbre de marquage) => a = 0 (mod 2) et que la permutation u ne change rien sur le modulo.
Donc si
x = 0 (mod 2)
on a aussi
x' = 0 (mod 2).

comme au départ, à l'état resolu l'orientation des arêtes vaut 0 (x=0 (mod 2) ), donc quelque soit l'état du Cube l'orientation des arêtes est toujours un multiple de 2.

Demontration2 :
On peut démontrer directement, sans passer par la loi '.' de (G,.)
on calcule le nombre de flips qu'apporte chaque rotation de base.
Pour A elle apporte 4 flips, on notera
A=4 comme A et P joue le même rôle (symétrie) donc P=4 aussi
clairement on a: H=0, B=0 puis G=0,D=0

au départ on a flips=0 toutes les arêtes sont bien orientées, à chaque fois on applique une rotation de base A,P,H,B,G,D on ajoute un nombre pair donc au final flips=2k un nombre pair

la 1er loi est ainsi démontrée.

2. Loi des twists : la somme des orientations des sommets est un multiple de 3

∑ yi = 0 (mod 3) ou en abrégé y = 0 (mod 3) avec y = (y1,y2,y3,...,y8)
on dit qu'il y a une conservation des twists .

Demontration :
La démontration est assez simple. On passe d'un état-sommet (v,y) à l'autre (v',y') par une rotation de base X => (q,b)
On a
(v',y') = (v,y)(q,b)
D'où
y' = y + v(b)
d'autre part on a aussi
v(b) = 0 (mod 3)
car une rotation de base apporte un nombre d'orientation b = 0,3,6 (voir l'arbre de marquage) => b = 0 (mod 3) et que la permutation v ne change rien sur le modulo.
Donc si
y = 0 (mod 3)
on a aussi
y' = 0 (mod 3).

comme au départ, à l'état resolu l'orientation des sommets vaut 0 (y=0 (mod 3) ), donc quelque soit l'état du Cube l'orientation des sommets est toujours un multiple de 3.

Demontration2 :
On peut démontrer directement, sans passer par la loi '.' de (G,.)
on calcule le nombre de twists qu'apporte chaque rotation de base.
Pour A elle apporte 6 twists, on notera
A=6 , comme D,P,G jouent le même rôle (symétrie) donc D=6,P=6,G=6 aussi
clairement on a: H=0, B=0

au départ on a twists=0 toutes les sommets sont bien orientés, à chaque fois on applique une rotation de base A,P,H,B,G,D on ajoute un multiple de 3 donc au final flips=3k un multiple de 3

la 2ème loi est ainsi démontrée.

3. Loi de parité: les permutations des arêtes et des sommets ont la même signature

Remarque: Une rotation de base gènère une permutation t sur des pièces, cette permutation déplace 4 arêtes et 4 sommets en cycle . donc t=pq avec
p = permutation arêtes un 4-cycle
q = permutation sommets un 4-cycle
on a donc sig(p)=sig(q) pour une rotation de base

Demontration :
On passe d'un état (u,x,v,y) à l'autre (u',x',v',y') par une rotation de base X => (p,a,q,b)
On a
(u',x',v',y') = (u,x,v,y)(p,a,q,b)
D'où
u' = up
v' = vq
ça donne
sig(u') = sig(u).sig(p)
sig(v') = sig(v).sig(q)
Donc si
sig(u)=sig(v)
on a aussi
sig(u')=sig(v') d'apès la remarque ci-dessus


comme au départ, à l'état resolu personne ne bouge u=id et v=id => sig(u)=sig(v), donc quelque soit l'état du Cube (k,.,m,.) on a sig(k)=sig(m).

La 3ème loi est ainsi démontrée.

1 [2] 3 4 5 6 7 8 9

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DMJ: 27/02/2017









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