Le groupe de Mathieu M12

Difficulté: 10/20

29 Oct

Introduction Auteur: morphocode
Année: 2012

Ce qui est vraiment remarquable c'est que le Rubik's Cube contient un objet mathématique extrêmement rare : le groupe simple sporadique de Mathieu M12 !!!

1- Résoudre le M12

Voici une question intéressante: si on mélange le cube uniquement avec I et M comment le restaurer avec seulement I et M ?
Il est clair qu'on ne peut pas le faire manuellemnt car les formules I et M sont trop longues .... mais imaginez qu'il y a une machine, ou un programe qui fait I et M pour vous alors comment s'en sortir ?

La solution provient d'une propriété mathématique du groupe M12 il est 5-transitif c'est à dire s'il y a 5 nombres bien placés alors les autres seront automatiquement bien placés !!
La stratégie est donc de placer les nombres 1,2,3,4,5

Rappel:
I = (1,12)(2,11)(3,10)(4,9)(5,8)(6,7)
M = (2,3,5,9,8,10,6,11,4,7,12)

Concidèrons les 6 formules suivantes:

F3 = IM2IM5IM4 = (3,10,4,5)(6,7,11,12)
G3 = IMIM3IM2 = (4,9)(3,11,10,5,8,7,12,6)

F4 = IMIM3IM2IM9IM7IM8 = (4,7,6,12)(5,10,8,9)
G4 = IM3IM6IMIM9IM7IM8 = (4,7)(5,6)(8,12)(9,11)

F5 = IM9IM7IM8IM7IMIM5 = (5,10,12,7)(6,8,11,9)
G5 = IMIM3IM2IM7IMIM5 IM7IMIM5 = (5,11,12,6)(7,9,10,8)

Placer 1, 2
- Si 1 est en bonne place, alors rien à faire sinon on le déplace avec M en 12 puis le place avec I
- Pour 2: on le place avec M .
Placer 3
- Si 3 en 4: utilisez F3
- Sinon: utilisez G3
Placer 4
- Si 4 en 6,7,12: utilisez F4
- Si 4 en 5,9,10: utilisez F4 pour le mettre en 8
- Si 4 en 8,11: utilisez G4 pour le mettre en 12 ou 9
Placer 5
- Si 5 en 7,10,12: utilisez F5
- Si 5 en 8,9,11: utilisez F5 pour le mettre en 6
- Si 5 en 6: utilisez G5

.::M12 en ligne ici::.

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DMJ: 06/07/2015







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