Le groupe du Pocket

01 Apr 2016

Structure mathématique du Pocket Soit G l'ensemble des états produits par des formules M = <H,B,A,P,G,D> , munie la loi '.' forme un groupe: Le groupe du Pocket.


L'ensemble des étiquettes X

Soit X = {1,2,3, ..., 24} l'ensemble des étiquettes numérotées 1,2,... ,24 comme indique la fig ci-dessous

L'ensemble des étiquettes X

Soit Ψ = (HAD)+ une rotation étendue
A chaque rotation de base {H,B,A,P,G,D} on associe une permutation {pH, pB, pA, pP, pG, pD} de Sx et pΨ la permutation étendue associée à la rotation Ψ
Soient Λ l'ensemble des permutations engendrées par {pH, pB, pA, pP, pG, pD}
et Λ+ engendrés par { pH, pB, pA, pP, pG, pD, pΨ }
Λ = < pH, pB, pA, pP, pG, pD > et
Λ+ = < pH, pB, pA, pP, pG, pD, pΨ >

Permutations standards
pH = (10,18,14,22)(21,9,17,13)(4,3,1,2)
pB = (12,24,16,20)(23,15,19,11)(5,6,8,7)
pA = (4,23,5,18)(3,21,6,20)(9,10,12,11)
pP = (2,17,7,24)(1,19,8,22)(13,14,16,15)
pG = (9,5,16,1)(3,11,7,14)(17,18,20,19)
pD = (10,2,15,6)(4,13,8,12)(21,22,24,23)

Permutations étendues
pΨ = (4,21,10)

et le GAP nous donne gap_pocket.txt
+| = 264 539 520
|Λ| = 88 179 840

Construction le groupe du Pocket G(P)

La construction est la même que celle du Rubik's Cube, en fait G(P) est un morceau du groupe du Rubik
On ne rentre pas dans le détaille de la contruction (action de M sur les stickers X,...) on passe directement à la phase d'analyse.

On a 8 sommets qui baladent partout, donc on a affaire avec S8, mais les sommets peuvent aussi se pivoter en 3 positions donc un truc Z38, finalement tout se passe dans:
G+ = S8 x Z38
Le G+ se nomme l'ensemble des états étendus
G+ muni la loi suivante, qui lui forme un groupe, le groupe étendu du puzzle
(u,x)(v,y) = ( uv, x + u(y) )
Le groupe du Pocket est par définition:
G(P) = G = {(u,x)∈G+ / x = 0 (mod 3) }

On dit aussi que G+ est l'extension de G
Il nous reste maintenant à montrer la "connexion" entre M et G, tout celà se fait en plusieurs étapes

Connexion entre M et G(P)

Rappel: M = < H,B,A,P,G,D >
Le but est de montrer la propriété suivante:
Chaque formule gènère un état, chaqu'état provient d'une formule

Chaqu'état provient d'une formule
On prend donc un élément de G , et il faut trouver une formule dont il provient
(u,x)∈G avec x = 0 (mod 3)
La démontration se fait par construction.
On coupe (u,x) en deux morceaux (u,x) = (1,x)(u,0)

Cas 1: (u,0)
L'état (u,0) signifie que les sommets sont mal placés mais bien orientés. Pour faciliter l'écriture on numérote les sommets comme indique la fig1
Soit T la formule suivante:
T = A'HA.[HD]
T permute les sommets (HAD)<->(HPD), comme S8 est engendré par des transpositions la formule T nous permet (avec la conjugaison) de placer les sommets comme on veut

fig1: Sommets numérotés T permute (HAD)<->(HPD)

Cas 2: (1,x)
L'état (1,x) signifie que les sommets sont bien placés mais pas orientés.
Soit F la formule suivante:
F = [HD]²G'[DH]²G
F pivote une fois le sommets (HPG), F² deux fois et F3 trois fois, et avec la conjugaison on peut donc pivoter tous les sommets comme on veut

par ex pour pivoter y7 une fois on fait GFG', deux fois on fait GF²G', pour avoir l'état (1,x) on pivote sucsesivemnt y5, y6, y7, y8, y4, y1
puis y3, le sommet y2 sera automatiquement bien pivoté à cause de la loi x=0 (mod 3)

fig1: Sommets numérotés F pivote (HPG)

Finalement pour trouver une formule pour l'état (u,x) on fait simplement
- Utiliser la formule T pour placer les sommets ==> (u,0)
- Utiliser la formule F pour orienter les sommets ==> (1,x)
Donc l'état (u,x) = (1,x)(u,0) correspond bien à une formule

Chaque formule gènère un état
On prend donc une formule L -un élément de M- , la formule gènère un état (u,x)∈G+, il faut montrer que x=0 (mod 3)
Parmi les écritures de la formule L qui donne (u,x) on prend la plus courte (c'est exactement comme 2/4, 4/8, 8/16 ... on prend le plus simple 1/2)
longeur(L)=n, on va raisonner par récurrence sur n

Pour n=1 , on a x=0 (mod 3) car toute rotation de base A,P,H,B,G,D la vérifie
Supposons que la propriété soit vraie pour n, montrons qu'elle reste encore vraie pour n+1
Soit Q une formule de longeur n+1, mais on passe de n à n+1 par une rotation de base
Q = LZ avec Z=rotation de base ==> (u',x') = (u,x)(p,a)
x' = x + u(a)
comme
x=0 (mod 3) , l'hypothèse de récurrence
u(a)=0 (mod 3) , u ne change pas le modulo de a
d'où
x'=0 (mod 3)

Résumer: Toute formule produit un élément de G (état), tout élément de G (état) provient de M
Remarque :
1. Bien qu'il y ait une bijection entre M et G mais on ne peut pas identifier G=M, en effet M, ce sont des rotations, quant à G ce sont des congifurations des stickers .
2. Le Pocket est un twist normal, en fin de la résolution si on tombe sur une permutation de 2 sommets, on ne peut pas dire qu'on a un problème de parité, en effet cet état est un état légitime du twist.

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DMJ: 01/04/2016









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