Solution du Crazy-Tetrahedron-Mercure

23 Jan 2017

Méthode les arêtes d'abord Cette méthode divise en 5 phases:

  1. Placer les sommets-externes
  2. Arête-interne: Placer
  3. Arête-externe: a) Placer ==> b) Orienter
  4. Sommet-interne: Placer
  5. Sommet-externe: a) Placer ==> b) Orienter

Notation

CONSEIL : Si votre cube a des couleurs différentes alors il vaut mieux convertir les couleurs dans les desseins en couleurs de votre cube, du genre:
0-Blanc(dessein) ==> 0-Jaune (mon cube) ... Pour pouvoir suivre l'algorithme

La première chose à faire c'est qu'il faut chercher les faces de valeur 0, 0-face = cercle bloqué .
Le Crazy-Tetrahedron-Mercure, possède 3 0-faces !!.

B(as) , G(auche) , D(roite).

Les rotations
G = tourner la face Gauche dans le sens horaire.
G' = tourner dans le sens contraire

Rotation G Rotation D

Rotation B

Le point '.' et les parenthèses '(', ')' qui se trouvent dans les formules sont là pour faciliter la lecture c'est tout!!!

Crazy-Tetrahedron-Mercure


Phase 1: Placer les sommets-externes

Ce qu'on veut c'est placer correctement les sommets-externes sans se soucier de leur orientation.
Les sommets-externes sont répérables par les 3 couleurs des centres.

[DG'] Sommet-externe bien palcé


Phase 2: Place les arêtes-interne

Ce n'est pas bien difficile. On place Bas=1-face (orange)

[GB'] (B=1) [D'B] (B=1)


Phase 3: Ranger les arêtes-externes

On place Bas=1-face (orange)
a) On va placer les arêtes-externes grâce à la formule suivante:
(AG)->(AD)->(PG) = [DG']
Si vous avez oublié la couleur des faces, alors répèrez la couleur grâces aux sommets
Remarque Une flèche avec un cercle au-dessus signifie que la pièce en déplacent elle pivote.
b) Orienter les arêtes-externes:
(AG)°(AD)° = [DG'] tH [G'D] (rappel: tH=tourner le cube entier 90° suivant H)

[DG'] (B=1) [DG']DA[G'D] (B=1)


Phase 4: Placer les sommets-internes

C'est la partie la plus difficile, en effet il y a 12 sommets-interne à placer un par un et puis les formules sont vraiment longues bien que ce soit facile à retenir, il ne faut sur tout pas se tromper.

On place la face orange en Bas: 1-face=Bas

1. [DG']B[G'D]B'
2. [DG']B'[G'D]B
1. B'[DG']B[G'D]
2. B[DG']B'[G'D]

Phase 5: Ranger les sommets-externes

C'est pratiquement fini maintanant. On replace les sommets-externes (si nécessaire) puis on les oriente
Tenez le cube de telle sorte que: Avant=1-face
a) Placer les sommets-externes: [DG']3 avec A=1
b) Orienter les sommets-externes: [DG']²B[G'D]²B' avec A=1

[DG']3 avec A=1 [DG']²B[G'D]²B' avec A=1


Et voilà le travail!!


Commentaire

Si on observe bien on voit que l'algorithme fait un double travail, c'est la phase 1 (placer les sommets) et la phase 5a (placer les sommets). On pourrait donc supprimer la phase 1. Mais alors dans ce cas il arrive parfois (mais pas toujours) un phénomène bien étrange: la non-résolubilité !!. On a déjà rencontré ce genre de phénomène dans le Master Skewb pour l'algorithme 'RexCube'.

Pour bien comprendre de quoi il s'agit, on va désigner Alg- l'algorithme sans la phase 1, et Alg l'algorithme entier avec la phase 1: Alg = 1 + Alg-

Le phénomène est suivant:
Avec Alg-, il arrive parfois que le cube se trouve dans un état non-résoluble (impossible de mettre les sommets en place) !! donc de temps en temps ça marche, et de temps en temps ça ne marche pas !!! , cela nous mène aux questions suivantes:

1. Quelle est la cause de ce phénomène ? càd qui est ce qui fait que le cube est non-résoluble ?
2. Quelle est la probabilité de tomber dans le cas non-résoluble ?
3. Dans un état donné comment est on sûr à 100% que c'est résoluble ?
4. Dans un état donné comment est on sûr à 100% que c'est non-résoluble ?

J'avoue que j'ai du mal à comprendre ce phénomène, contrairement au problème de parité qui est plutôt facile à comprendre. Comment ça fait que parfois Alg- résolve le cube , parfois non ? et dans quel cas on est sûr à 100% que Alg- marche et dans quel cas on est sûr à 100% que Alg- ne marche pas ?

A. On va analyser l'algorithme Alg-
Ce qui nous intéresse ici , ce sont les 4 sommets (externe bien sûr): E={a,b,c,d}. Durant la résolution on utilise les commutateurs (son invers, la conjugaison et la puissance), ces commutateurs permutent 2 couples de sommets, u = (a,b)(c,d) disons les permutations pairs de type1 (les permutations pairs de type2 sont p=(a,b,c) ; q=(b,d,c) etc .... les 3-cycles)
ce genre de permutation il y en a 3:
u = (a,b)(c,d)
v = (a,c)(b,d)
w = (a,d)(b,c)
un rapide calcule nous donne :

1 = identique Les 4 sommets concernant

Pendant la résolution on utilise aussi la conjugaison, mais on tombe toujours sur u,v ou w en effet on a la formule suivante:
pup' = p(a,b)(c,d)p' = p(a,b)p' p(c,d)p'=(p(a),p(b)) (p(c),p(d)) c'est un truc de type1

B. Analysons l'état du cube
Une fois mélangé, les sommets {a,b,c,d} subis une permutation pair car une rotation de base gènère une permutation pair
Cas0: 0 sommets bien placé ==> possible
Cas1: 1 sommets bien placé ==> possible
Cas2: 2 sommets bien placés ==> impossible car la permutation doit être pair
Cas3: 3 sommets bien placés ==> impossible le 4ème est forcement bien placé.
Cas4: 4 sommets bien placés ==> possible
il reste donc les cas: cas0, cas1,et cas4

Et voila, maintenant nous sommes en mesure de répondre à nos questions.

Reponse4: Dans le cas1, le cube est non-résoluble en effet dans ce cas le mélange résume une permutation de la forme
p = (a,b,c) = a->b->c qui laisse fixe un sommet d (sommet bon), comme l'agorithme n'utilise que les permutations du type u=(a,b)(c,d)
on doit faire pu , donc si pu=1 ça signifie que
pu=1
pu=u² (car u²=1)
pu=uu
puu-1=uuu-1
p=u !!! imposible
car u bouge 4 sommets ne laisse fixe personne.
finalement quand on est dans le cas1 , Alg- ne donne jamais l'état identique (impossible de placer les sommets) on est sûr à 100% que le cube est non-résoluble.

J'avais fait une erreur: je pensais qu'on puisse transformer p=a->b->c en une permutation du type u=(a,b)(c,d) car je pensais que p est pair (p=(a,b)(a,c)) et u aussi donc on peut passer l'une à l'autre, si p était impair alors il serait évidamment impossible, mais 2 permutations pairs peuvent logiquement passer l'une à l'autre, comme on a déjà fait dans le cas du Rubik's cube.

On a [HD] qui permute 2 couples de sommets et on la transforme en une autre [HD]G'[DH]G en un 3-cycle
L'erreur est: ici on a 4 sommets et non 8, on travaille sur A4(l'ensemble de permutations pairs à 4 sommets) et non sur A8 u=(a,b)(c,d) ne laisse aucun point fixe sur E, alors que u laisse de points fixes sur un ensemble à 8 éléments.

Une remarque: si on fait pu on tombe forcement sur le type2, en effet si on tombe sur le type 1 on aura une contradition:
pu=v (par exemple)
puw=vw (multiplier à droite, respecter l'ordre)
pv=vw
pvv-1=vwv-1
p = vwv-1 (c'est un truc de type1 donc impossible car p est de type2)

Reponse3: Dans le cas4, et cas0 le cube est résoluble en effet dans ces cas le mélange résume à une permutation de la forme
u = (a,b)(c,d) qui permute 2 couples de sommets, pour avoir l'état identique il suffit de faire u²=1 (ou v², w²)

Reponse2: on a 1/3 tomber dans le cas non-résoluble

Reponse1: On a 2 types de permutations pairs pour les 4 sommets: C'est quand le résultat du mélange mène l'état des sommets dans le type2, Alg- ne peut pas résolver le cube

2 types de permutations pairs


On a pu répondre à nos 4 questions grâce aux propriétés de la table I. Ces propriétés connus sous le nom de groupe, les éléments G={1,u,v,w} forme un groupe que l'on nomme Groupe de Klein
Si on observe bien on peut représenter la table I par seulement 2 symboles u et v et 2 relations:
1. u²=v²=1
2. uv=vu
autrement dit à partir de ces 2 relations on peut remplir la table I, ces relations sont en quelque sorte un .zip de la table I
c'est plus court, plus joli, mais plus concentré et difficile à comprendre. C'est sûr le tableau I c'est plus claire, plus simple à comprendre, mais c'est plus long
Finalement la résolution se fait par le Groupe de Klein !!

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DMJ: 23/01/2017









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